ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.39 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти точки экстремума заданной функции и определить их характер:

а) $y = 2x + \frac{8}{x}$;

Производная функции:
$y'(x) = (2x)’ + \left(\frac{8}{x}\right)’ = 2 + 8 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{2x^2 — 8}{x^2}$;

Промежуток возрастания:
$2x^2 — 8 \geq 0$;
$x^2 — 4 \geq 0$;
$(x + 2)(x — 2) \geq 0$;
$x \leq -2$ или $x \geq 2$;

Ответ: $x = 2$ — точка минимума;
$x = -2$ — точка максимума.

б) $y = \sqrt{2x — 1}$;

Производная функции:
$y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x — 1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{x — \frac{1}{2}}}$;

Промежуток возрастания:
$x \in R$;

Ответ: нет.

в) $y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$;

Производная функции:
$y'(x) = \frac{1}{5}(x)’ + 5\left(\frac{1}{x}\right)’ = \frac{1}{5} + 5 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{x^2 — 25}{5}$;

Промежуток возрастания:
$x^2 — 25 \geq 0$;
$(x + 5)(x — 5) \geq 0$;
$x \leq -5$ или $x \geq 5$;

Ответ: $x = 5$ — точка минимума;
$x = -5$ — точка максимума.

г) $y = x — 3^4$;

Производная функции:
$y'(x) = (x)’ — (3^4)’ = 1 — 0 = 1$;

Промежуток возрастания:
$x \in R$;

Ответ: нет.

а) $y = 2x + \frac{8}{x}$

1. Найдём производную функции

Функция состоит из двух слагаемых:

• $2x$ — линейная функция
• $\frac{8}{x} = 8x^{-1}$ — дробная (рациональная)

Применяем правило производной суммы:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{8}{x}\right)$$

Находим производные по отдельности:

• $\frac{d}{dx}(2x) = 2$
• $\frac{d}{dx}(8x^{-1}) = 8 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\frac{8}{x^2}$

Итак:

$$y'(x) = 2 — \frac{8}{x^2}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$y'(x) = \frac{2x^2 — 8}{x^2}$$

2. Найдём критические точки:

Критические точки — это значения $x$, при которых $y'(x) = 0$ или не существует (но функция существует).

Производная:

$$y'(x) = \frac{2x^2 — 8}{x^2}$$

a) Найдём, где $y'(x) = 0$:

Числитель равен нулю:

$$2x^2 — 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2$$

b) Найдём, где производная не существует:

$y'(x)$ не существует при $x = 0$, т.к. знаменатель $x^2 = 0$. Но:

Функция $y = 2x + \frac{8}{x}$ не определена в точке $x = 0$, потому что деление на ноль запрещено.
Следовательно, $x = 0$ — не входит в область определения.

3. Исследуем знак производной (возрастание/убывание):

Рассмотрим интервалы:

• $(-\infty, -2)$
• $(-2, 0)$
• $(0, 2)$
• $(2, \infty)$

$x < -2$, например $x = -3$:

$$y'(-3) = \frac{2(-3)^2 — 8}{(-3)^2} = \frac{18 — 8}{9} = \frac{10}{9} > 0$$

Функция возрастает

$-2 < x < 0$, например $x = -1$:

$$y'(-1) = \frac{2 — 8}{1} = -6 < 0$$

Функция убывает

$0 < x < 2$, например $x = 1$:

$$y'(1) = \frac{2 — 8}{1} = -6 < 0$$

Функция убывает

$x > 2$, например $x = 3$:

$$y'(3) = \frac{18 — 8}{9} = \frac{10}{9} > 0$$

Функция возрастает

4. Делим ось на интервалы и делаем вывод:

• $x = -2$: слева $y’ > 0$, справа $y’ < 0$ → максимум
• $x = 2$: слева $y’ < 0$, справа $y’ > 0$ → минимум

Ответ:

• $x = -2$ — точка максимума
• $x = 2$ — точка минимума

б) $y = \sqrt{2x — 1}$

1. Область определения функции:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$2x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{1}{2}$$

Функция определена при $x \geq \frac{1}{2}$

2. Найдём производную:

Функция:

$$y = \sqrt{2x — 1} = (2x — 1)^{1/2}$$

Применим правило производной сложной функции:

$$y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x — 1}} \cdot \frac{d}{dx}(2x — 1) = \frac{1}{2\sqrt{2x — 1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x — 1}}$$

3. Знак производной:

$$y'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x — 1}} > 0 \quad \text{при всех } x > \frac{1}{2}$$

Производная положительна → функция возрастает на всей области определения.

4. Вывод:

Поскольку производная всегда положительна, функция не имеет экстремумов (не меняет направление).

Ответ:

Экстремумов нет

в) $y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$

1. Найдём производную:

Функция:

$$y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$$

Производная суммы:

• $\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{5}\right) = \frac{1}{5}$
• $\frac{d}{dx}\left(\frac{5}{x}\right) = 5 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{5}{x^2}$

$$y'(x) = \frac{1}{5} — \frac{5}{x^2}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$y'(x) = \frac{x^2 — 25}{5x^2}$$

2. Критические точки:

Производная равна нулю:

$$\frac{x^2 — 25}{5x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 25 = 0 \Rightarrow x = \pm 5$$

И ещё нужно помнить:
$x \ne 0$, потому что в исходной функции $\frac{5}{x}$, деление на 0 невозможно.

3. Исследуем знак производной:

Интервалы:

• $(-\infty, -5)$
• $(-5, 0)$
• $(0, 5)$
• $(5, \infty)$

$x = -6$:

$$y'(-6) = \frac{36 — 25}{5 \cdot 36} = \frac{11}{180} > 0 \Rightarrow \uparrow$$

$x = -1$:

$$y'(-1) = \frac{1 — 25}{5} = -\frac{24}{5} < 0 \Rightarrow \downarrow$$

$x = 1$:

$$y'(1) = -\frac{24}{5} < 0 \Rightarrow \downarrow$$

$x = 6$:

$$y'(6) = \frac{36 — 25}{5 \cdot 36} = \frac{11}{180} > 0 \Rightarrow \uparrow$$

4. Характер критических точек:

• $x = -5$: $+ \to —$ → максимум
• $x = 5$: $— \to +$ → минимум

Ответ:

• $x = -5$ — точка максимума
• $x = 5$ — точка минимума

г) $y = x — 3^4$

1. Упростим функцию:

$3^4 = 81$, значит:

$$y = x — 81$$

2. Найдём производную:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x — 81) = 1 — 0 = 1$$

3. Анализ производной:

Производная постоянна и положительна → $y'(x) = 1 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$

Значит, функция возрастает на всей числовой оси.

4. Вывод:

Функция возрастает всегда → экстремумов нет

Ответ:

Экстремумов нет