ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

На каком из указанных промежутков функция у = f(x) убывает, если график её производной представлен на рисунке 53:

а) (-2; 1);

б) ($-\mathrm{\infty }$; 4);

в) (4; $+\mathrm{\infty }$);

г) ($-\mathrm{\infty }$; -2)?

График производной функции $y = f(x)$ представлен на рисунке 53;

По графику определим, что производная этой функции принимает отрицательные значения на луче $[4; +\infty)$;

Следовательно, функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $(4; +\infty)$;

Ответ: в).

На рисунке 53 изображён график производной функции $y = f'(x)$.
Требуется определить, на каком промежутке сама функция $f(x)$ убывает.

Как связаны график производной и поведение функции?

• Если $f'(x) > 0$, то функция возрастает;
• Если $f'(x) < 0$, то функция убывает;
• Если $f'(x) = 0$, то функция может иметь экстремум (максимум или минимум) в этой точке.

То есть:

• Положительные значения графика производной → рост функции.
• Отрицательные значения графика производной → убывание функции.

Анализ графика:

• График производной принимает отрицательные значения на луче $[4; +\infty)$.

Что это значит:

• При $x > 4$, $f'(x) < 0$ → функция $f(x)$ убывает;
• В точке $x = 4$, если $f'(4) = 0$, то это может быть точка максимума/перелома.

Важно: функция убывает там, где производная строго меньше нуля, т.е. на интервале $(4; +\infty)$, а не включая точку 4 (если в 4 производная равна нулю).

Ответ:

Функция $f(x)$ убывает на:

$$\boxed{(4;\ +\infty)}$$

Итог:

• Производная отрицательна на $[4; +\infty)$
• Значит, функция убывает на $(4; +\infty)$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \text{в)}}}$