ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.40 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти точки экстремума заданной функции и определить их характер:

а) $y = \frac{x^3}{3} — \frac{5}{2}x^2 + 6x — 1$;

Производная функции:
$y'(x) = \frac{1}{3}(x^3)’ — \frac{5}{2}(x^2)’ + (6x — 1)’$;
$y'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — \frac{5}{2} \cdot 2x + 6 = x^2 — 5x + 6$;

Промежуток возрастания:
$x^2 — 5x + 6 \geq 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:
$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;
$(x — 2)(x — 3) \geq 0$;
$x \leq 2$ или $x \geq 3$;

Ответ: $x = 3$ — точка минимума;
$x = 2$ — точка максимума.

б) $y = x^3 — 27x + 26$;

Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ + (-27x + 26)’ = 3x^2 — 27$;

Промежуток возрастания:
$3x^2 — 27 \geq 0$;
$x^2 — 9 \geq 0$;
$(x + 3)(x — 3) \geq 0$;
$x \leq -3$ или $x \geq 3$;

Ответ: $x = 3$ — точка минимума;
$x = -3$ — точка максимума.

в) $y = x^3 — 7x^2 — 5x + 11$;

Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ — 7(x^2)’ + (-5x + 11)’$;
$y'(x) = 3x^2 — 7 \cdot 2x — 5 = 3x^2 — 14x — 5$;

Промежуток возрастания:
$3x^2 — 14x — 5 \geq 0$;
$D = 14^2 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 196 + 60 = 256$, тогда:
$x_1 = \frac{14 — 16}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$;
$x_2 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$;
$\left(x + \frac{1}{3}\right)(x — 5) \geq 0$;
$x \leq -\frac{1}{3}$ или $x \geq 5$;

Ответ: $x = 5$ — точка минимума;
$x = -\frac{1}{3}$ — точка максимума.

г) $y = -2x^3 + 21x^2 + 19$;

Производная функции:
$y'(x) = -2(x^3)’ + 21(x^2)’ + (19)’$;
$y'(x) = -2 \cdot 3x^2 + 21 \cdot 2x + 0 = 42x — 6x^2$;

Промежуток возрастания:
$42x — 6x^2 \geq 0$;
$7x — x^2 \geq 0$;
$x^2 — 7x \leq 0$;
$x(x — 7) \leq 0$;
$0 \leq x \leq 7$;

Ответ: $x = 0$ — точка минимума;
$x = 7$ — точка максимума.

а) $y = \dfrac{x^3}{3} — \dfrac{5}{2}x^2 + 6x — 1$

1. Найдём производную функции

Применим правило дифференцирования суммы и стандартные производные:

• $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$
• $\frac{d}{dx}\left(-\frac{5}{2}x^2\right) = -\frac{5}{2} \cdot 2x = -5x$
• $\frac{d}{dx}(6x) = 6$
• $\frac{d}{dx}(-1) = 0$

Итак:

$$y'(x) = x^2 — 5x + 6$$

2. Найдём критические точки

Найдём, где производная равна нулю:

$$x^2 — 5x + 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$ $$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x_1 = 2, \quad x_2 = 3$$

3. Знаки производной на промежутках

Разбиваем числовую ось на интервалы:
$(-\infty, 2), \quad (2, 3), \quad (3, \infty)$

Производная: $y'(x) = (x — 2)(x — 3)$

На $x < 2$:

Оба множителя отрицательны ⇒ $y'(x) > 0$ ⇒ функция возрастает

На $2 < x < 3$:

Один множитель положительный, другой — отрицательный ⇒ $y'(x) < 0$ ⇒ функция убывает

На $x > 3$:

Оба множителя положительны ⇒ $y'(x) > 0$ ⇒ функция возрастает

4. Характер критических точек

• $x = 2$: $y’$ меняет знак $+ \to —$ ⇒ максимум
• $x = 3$: $y’$ меняет знак $— \to +$ ⇒ минимум

Ответ:

• $x = 2$ — точка максимума
• $x = 3$ — точка минимума

б) $y = x^3 — 27x + 26$

1. Производная функции

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) — \frac{d}{dx}(27x) + \frac{d}{dx}(26) = 3x^2 — 27 + 0 = 3x^2 — 27$$

2. Найдём критические точки

$$3x^2 — 27 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm3$$

3. Знак производной

Рассмотрим интервалы:
$(-\infty, -3), (-3, 3), (3, \infty)$

$x < -3$:

$x^2 > 9$ ⇒ $y'(x) > 0$

$-3 < x < 3$:

$x^2 < 9$ ⇒ $y'(x) < 0$

$x > 3$:

$x^2 > 9$ ⇒ $y'(x) > 0$

4. Характер точек

• $x = -3$: $y’$ меняется $+ \to —$ ⇒ максимум
• $x = 3$: $y’$ меняется $— \to +$ ⇒ минимум

Ответ:

• $x = -3$ — точка максимума
• $x = 3$ — точка минимума

в) $y = x^3 — 7x^2 — 5x + 11$

1. Производная функции

$$y'(x) = 3x^2 — 7 \cdot 2x — 5 = 3x^2 — 14x — 5$$

2. Критические точки

Решим уравнение:

$$3x^2 — 14x — 5 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-14)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256$$

Корни:

$$x = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 16}{6} \Rightarrow x_1 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{30}{6} = 5$$

3. Знаки производной

Факторизуем:

$$y'(x) = 3(x + \frac{1}{3})(x — 5)$$

Рассмотрим интервалы:

• $x < -\frac{1}{3}$: оба скобки $< 0$ ⇒ производная $> 0$
• $-\frac{1}{3} < x < 5$: одна скобка $> 0$, другая $< 0$ ⇒ производная $< 0$
• $x > 5$: обе скобки $> 0$ ⇒ производная $> 0$

4. Характер точек

• $x = -\frac{1}{3}$: $y’$ меняется $+ \to —$ ⇒ максимум
• $x = 5$: $y’$ меняется $— \to +$ ⇒ минимум

Ответ:

• $x = -\frac{1}{3}$ — точка максимума
• $x = 5$ — точка минимума

г) $y = -2x^3 + 21x^2 + 19$

1. Производная функции

$$y'(x) = -2 \cdot 3x^2 + 21 \cdot 2x = -6x^2 + 42x$$

Вынесем общий множитель:

$$y'(x) = 6x(7 — x)$$

2. Найдём критические точки

$$6x(7 — x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \quad \text{или} \quad x = 7$$

3. Знак производной

Рассмотрим интервалы:
$(-\infty, 0), (0, 7), (7, \infty)$

• $x < 0$: $x < 0$, $7 — x > 0$ ⇒ $y'(x) < 0$
• $0 < x < 7$: оба множителя $> 0$ ⇒ $y'(x) > 0$
• $x > 7$: $x > 0$, $7 — x < 0$ ⇒ $y'(x) < 0$

4. Характер точек

• $x = 0$: $y’$ меняется $— \to +$ ⇒ минимум
• $x = 7$: $y’$ меняется $+ \to —$ ⇒ максимум

Ответ:

• $x = 0$ — точка минимума
• $x = 7$ — точка максимума