ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.41 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти точки экстремума заданной функции и определить их характер:

а) $y = -5x^5 + 3x^3$;

Производная функции:
$y'(x) = -5(x^5)’ + 3(x^3)’ = -5 \cdot 5x^4 + 3 \cdot 3x^2 = 9x^2 — 25x^4$;

Промежуток возрастания:
$9x^2 — 25x^4 \geq 0$;
$-x^2 \cdot (25x^2 — 9) \geq 0$;
$25x^2 — 9 \leq 0$;
$(5x + 3)(5x — 3) \leq 0$;
$-0,6 \leq x \leq 0,6$;

Ответ: $x = -0,6$ — точка минимума;
$x = 0,6$ — точка максимума.

б) $y = x^4 — 4x^3 — 8x^2 + 13$;

Производная функции:
$y'(x) = (x^4)’ — 4(x^3)’ — 8(x^2)’ + (13)’$;
$y'(x) = 4x^3 — 4 \cdot 3x^2 — 8 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 12x^2 — 16x$;

Промежуток возрастания:
$4x^3 — 12x^2 — 16x \geq 0$;
$4x(x^2 — 3x — 4) \geq 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$;
$(x + 1)x(x — 4) \geq 0$;
$-1 \leq x \leq 0$ или $x \geq 4$;

Ответ: $x = -1, x = 4$ — точки минимума;
$x = 0$ — точка максимума.

в) $y = x^4 — 50x^2$;

Производная функции:
$y'(x) = (x^4)’ — 50(x^2)’ = 4x^3 — 50 \cdot 2x = 4x^3 — 100x$;

Промежуток возрастания:
$4x^3 — 100x \geq 0$;
$4x(x^2 — 25) \geq 0$;
$(x + 5)x(x — 5) \geq 0$;
$-5 \leq x \leq 0$ или $x \geq 5$;

Ответ: $x = \pm 5$ — точка минимума;
$x = 0$ — точка максимума.

г) $y = 2x^5 + 5x^4 — 10x^3 + 3$;

Производная функции:
$y'(x) = 2(x^5)’ + 5(x^4)’ — 10(x^3)’ + (3)’$;
$y'(x) = 2 \cdot 5x^4 + 5 \cdot 4x^3 — 10 \cdot 3x^2 + 0 = 10x^4 + 20x^3 — 30x^2$;

Промежуток возрастания:
$10x^4 + 20x^3 — 30x^2 \geq 0$;
$10x^2 \cdot (x^2 + 2x — 3) \geq 0$;
$x^2 + 2x — 3 \geq 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$;
$(x + 3)(x — 1) \geq 0$;
$x \leq -3$ или $x \geq 1$;

Ответ: $x = 1$ — точка минимума;
$x = -3$ — точка максимума.

а) $y = -5x^5 + 3x^3$

1. Находим первую производную

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}(-5x^5+3x^3)=-5\cdot \frac{d}{dx}(x^5)+3\cdot \frac{d}{dx}(x^3)=$$

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(-5x^5 + 3x^3) = -5 \cdot \frac{d}{dx}(x^5) + 3 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = -5 \cdot 5x^4 + 3 \cdot 3x^2 = -25x^4 + 9x^2$$

Приведём к стандартному виду:

$$y'(x) = 9x^2 — 25x^4$$

2. Найдём критические точки

Для этого решаем уравнение:

$$y'(x) = 0 \Rightarrow 9x^2 — 25x^4 = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$x^2(9 — 25x^2) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

1. $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$
2. $9 — 25x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{9}{25} \Rightarrow x = \pm \frac{3}{5} = \pm 0{,}6$

Итак, критические точки:

$$x = -0{,}6,\quad x = 0,\quad x = 0{,}6$$

3. Исследуем знак производной (возрастание/убывание)

Производная:

$$y'(x) = x^2(9 — 25x^2)$$

Исследуем на знаки:

• $x^2 \geq 0$ всегда (квадрат)
• $9 — 25x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq \frac{9}{25} \Rightarrow |x| \leq 0{,}6$

Итак, производная:

• $\geq 0$ при $|x| \leq 0{,}6$
• $< 0$ при $|x| > 0{,}6$

4. Определим характер экстремумов

Разбиваем ось:

• $x < -0{,}6$: $y'(x) < 0$ — убывание
• $x = -0{,}6$: производная меняет знак $— \to +$ ⇒ минимум
• $-0{,}6 < x < 0$: $y'(x) > 0$ — возрастание
• $x = 0$: производная не меняет знак (положительная с обеих сторон) ⇒ не экстремум
• $0 < x < 0{,}6$: $y'(x) > 0$
• $x = 0{,}6$: производная меняет знак $+ \to —$ ⇒ максимум
• $x > 0{,}6$: $y'(x) < 0$ — убывание

Ответ:

• $x = -0{,}6$ — точка минимума
• $x = 0{,}6$ — точка максимума

б) $y = x^4 — 4x^3 — 8x^2 + 13$

1. Найдём производную

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) — 4 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) — 8 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(13) = 4x^3 — 12x^2 — 16x + 0$$ $$y'(x) = 4x^3 — 12x^2 — 16x$$

2. Критические точки

Решаем:

$$4x^3 — 12x^2 — 16x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 — 3x — 4) = 0$$

Решаем каждое:

• $4x = 0 \Rightarrow x = 0$
• $x^2 — 3x — 4 = 0$

$$D = (-3)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \Rightarrow x = -1,\ 4$$

Критические точки:

$$x = -1,\ 0,\ 4$$

3. Исследуем знак производной

$$y'(x) = 4x(x + 1)(x — 4)$$

Определим интервалы и знаки:

• $x < -1$: все множители отрицательные ⇒ $y’ < 0$
• $-1 < x < 0$: $x + 1 > 0$, остальное отрицательное ⇒ $y’ > 0$
• $0 < x < 4$: $x > 0$, $x + 1 > 0$, $x — 4 < 0$ ⇒ $y’ < 0$
• $x > 4$: все множители положительные ⇒ $y’ > 0$

4. Характер экстремумов

• $x = -1$: $y’$ меняется $— \to +$ ⇒ минимум
• $x = 0$: $+ \to —$ ⇒ максимум
• $x = 4$: $— \to +$ ⇒ минимум

Ответ:

• $x = -1$, $x = 4$ — точки минимума
• $x = 0$ — точка максимума

в) $y = x^4 — 50x^2$

1. Производная:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) — 50 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 4x^3 — 100x$$

2. Критические точки:

$$4x^3 — 100x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 — 25) = 0$$ $$x = 0,\ \pm 5$$

3. Знак производной:

$$y'(x) = 4x(x — 5)(x + 5)$$

Исследуем интервалы:

• $x < -5$: $— \cdot — \cdot — = —$ ⇒ убывает
• $-5 < x < 0$: $— \cdot — \cdot + = +$ ⇒ возрастает
• $0 < x < 5$: $+ \cdot — \cdot + = —$ ⇒ убывает
• $x > 5$: $+ \cdot + \cdot + = +$ ⇒ возрастает

4. Характер точек:

• $x = -5$: $— \to +$ ⇒ минимум
• $x = 0$: $+ \to —$ ⇒ максимум
• $x = 5$: $— \to +$ ⇒ минимум

Ответ:

• $x = \pm 5$ — точки минимума
• $x = 0$ — точка максимума

г) $y = 2x^5 + 5x^4 — 10x^3 + 3$

1. Производная:

$$y'(x) = 2 \cdot 5x^4 + 5 \cdot 4x^3 — 10 \cdot 3x^2 = 10x^4 + 20x^3 — 30x^2$$

2. Критические точки:

$$y'(x) = 10x^2(x^2 + 2x — 3)$$

Решим:

• $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$
• $x^2 + 2x — 3 = 0 \Rightarrow D = 4 + 12 = 16$

$$x = \frac{-2 \pm 4}{2} = -3,\ 1$$

Критические точки:

$$x = -3,\ 0,\ 1$$

3. Знак производной:

$$y'(x) = 10x^2(x + 3)(x — 1)$$

• $x^2 \geq 0$, всегда неотрицательна

Интервалы:

• $x < -3$: $x + 3 < 0, x — 1 < 0 \Rightarrow y'(x) > 0$
• $-3 < x < 0$: $x + 3 > 0, x — 1 < 0 \Rightarrow y'(x) < 0$
• $0 < x < 1$: $x + 3 > 0, x — 1 < 0 \Rightarrow y'(x) < 0$
• $x > 1$: все множители положительны ⇒ $y'(x) > 0$

4. Характер точек:

• $x = -3$: $+ \to —$ ⇒ максимум
• $x = 0$: знак не меняется (оба отрицательные слева и справа) ⇒ не экстремум
• $x = 1$: $— \to +$ ⇒ минимум

Ответ:

• $x = -3$ — точка максимума
• $x = 1$ — точка минимума