ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.42 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти точки экстремума заданной функции и определить их характер:

а) $y = x + \frac{4}{x}$;

Производная функции:
$y'(x) = (x)’ + 4\left(\frac{1}{x}\right)’ = 1 + 4 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{x^2 — 4}{x^2}$;

Промежуток возрастания:
$x^2 — 4 \geq 0$;
$(x + 2)(x — 2) \geq 0$;
$x \leq -2$ или $x \geq 2$;

Ответ: $x = 2$ — точка минимума;
$x = -2$ — точка максимума.

б) $y = \frac{x^2 + 9}{x} = x + \frac{9}{x}$;

Производная функции:
$y'(x) = (x)’ + 9\left(\frac{1}{x}\right)’ = 1 + 9 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{x^2 — 9}{x^2}$;

Промежуток возрастания:
$x^2 — 9 \geq 0$;
$(x + 3)(x — 3) \geq 0$;
$x \leq -3$ или $x \geq 3$;

Ответ: $x = 3$ — точка минимума;
$x = -3$ — точка максимума.

а) $y = x + \frac{4}{x}$

1. Область определения функции

Функция состоит из суммы двух выражений:

• $x$ — определён при всех $x \in \mathbb{R}$
• $\frac{4}{x}$ — определён при $x \ne 0$

Значит:

$$\text{Область определения: } x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$$

2. Находим производную функции

$$y(x) = x + \frac{4}{x}$$

Применим правило производной суммы:

• $\frac{d}{dx}(x) = 1$
• $\frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x}\right) = 4 \cdot \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -\frac{4}{x^2}$

Итак:

$$y'(x) = 1 — \frac{4}{x^2}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$y'(x) = \frac{x^2 — 4}{x^2}$$

3. Найдём критические точки

Чтобы найти экстремумы, приравниваем производную к нулю:

$$\frac{x^2 — 4}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 — 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$$

Проверим: $x = \pm 2 \in \text{области определения}$ ⇒ точки допустимы.

4. Исследуем знак производной

$$y'(x) = \frac{x^2 — 4}{x^2}$$

Рассмотрим интервалы:

• $(-\infty, -2)$
• $(-2, 0)$
• $(0, 2)$
• $(2, \infty)$

a) На $x < -2$, например $x = -3$:

$$y'(-3) = \frac{9 — 4}{9} = \frac{5}{9} > 0$$

Функция возрастает

b) На $-2 < x < 0$, например $x = -1$:

$$y'(-1) = \frac{1 — 4}{1} = -3 < 0$$

Функция убывает

c) На $0 < x < 2$, например $x = 1$:

$$y'(1) = \frac{1 — 4}{1} = -3 < 0$$

Функция убывает

d) На $x > 2$, например $x = 3$:

$$y'(3) = \frac{9 — 4}{9} = \frac{5}{9} > 0$$

Функция возрастает

5. Определяем характер критических точек

• В точке $x = -2$: производная $+ \to —$ ⇒ максимум
• В точке $x = 2$: производная $— \to +$ ⇒ минимум

Ответ:

• $x = -2$ — точка максимума
• $x = 2$ — точка минимума

б) $y = \frac{x^2 + 9}{x}$

1. Упростим выражение

Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель:

$$y(x) = \frac{x^2}{x} + \frac{9}{x} = x + \frac{9}{x}$$

2. Область определения

• $x \ne 0$ (деление на $x$)

$$\text{Область определения: } x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$$

3. Находим производную

$$y(x) = x + \frac{9}{x}$$ $$y'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{9}{x}\right) = 1 — \frac{9}{x^2}$$

Общий знаменатель:

$$y'(x) = \frac{x^2 — 9}{x^2}$$

4. Найдём критические точки

$$y'(x) = \frac{x^2 — 9}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 — 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$$

Проверим: $x = \pm 3 \ne 0$ ⇒ допустимо

5. Знаки производной

Рассматриваем интервалы:

• $(-\infty, -3)$
• $(-3, 0)$
• $(0, 3)$
• $(3, \infty)$

a) $x = -4$:

$$y'(-4) = \frac{16 — 9}{16} = \frac{7}{16} > 0$$

Функция возрастает

b) $x = -1$:

$$y'(-1) = \frac{1 — 9}{1} = -8 < 0$$

Функция убывает

c) $x = 1$:

$$y'(1) = \frac{1 — 9}{1} = -8 < 0$$

Функция убывает

d) $x = 4$:

$$y'(4) = \frac{16 — 9}{16} = \frac{7}{16} > 0$$

Функция возрастает

6. Характер точек

• $x = -3$: $y’$ меняется $+ \to —$ ⇒ максимум
• $x = 3$: $y’$ меняется $— \to +$ ⇒ минимум

Ответ:

• $x = -3$ — точка максимума
• $x = 3$ — точка минимума