ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.43 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти точки экстремума заданной функции и определить их характер:

а) $y = x — 2\sqrt{x — 2}$;

Производная функции:
$y'(x) = (x)’ — 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x — 2}} = 1 — \frac{1}{\sqrt{x — 2}} = \frac{\sqrt{x — 2} — 1}{\sqrt{x — 2}}$;

Промежуток возрастания:
$\sqrt{x — 2} — 1 \geq 0$;
$\sqrt{x — 2} \geq 1$;
$x — 2 \geq 1$;
$x \geq 3$;

Ответ: $x = 3$ — точка минимума.

б) $y = 4\sqrt{2x — 1} — x$;

Производная функции:
$y'(x) = 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x — 1}} — (x)’ = \frac{4}{\sqrt{2x — 1}} — 1 = \frac{4 — \sqrt{2x — 1}}{\sqrt{2x — 1}}$;

Промежуток возрастания:
$4 — \sqrt{2x — 1} \geq 0$;
$4 \geq \sqrt{2x — 1}$;
$16 \geq 2x — 1$;
$2x \leq 17$;
$x \leq 8{,}5$;

Ответ: $x = 8{,}5$ — точка максимума.

а) $y = x — 2\sqrt{x — 2}$

1. Область определения функции

Функция содержит корень: $\sqrt{x — 2}$
Для определения необходимо:

$$x — 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 2$$

Область определения: $x \in [2; +\infty)$

2. Найдём производную

Используем правила дифференцирования:

$$y(x) = x — 2\sqrt{x — 2}$$

• $\frac{d}{dx}(x) = 1$
• $\frac{d}{dx}\left(2\sqrt{x — 2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x — 2}} = \frac{1}{\sqrt{x — 2}}$

Тогда:

$$y'(x) = 1 — \frac{1}{\sqrt{x — 2}}$$

Приведём к дробному виду:

$$y'(x) = \frac{\sqrt{x — 2} — 1}{\sqrt{x — 2}}$$

3. Найдём критические точки

Производная равна нулю:

$$\frac{\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{x-2}}=0\Rightarrow \sqrt{x-2}-1=0\Rightarrow \sqrt{x-2}=1\Rightarrow$$

$$\frac{\sqrt{x — 2} — 1}{\sqrt{x — 2}} = 0 \Rightarrow \sqrt{x — 2} — 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{x — 2} = 1 \Rightarrow x — 2 = 1 \Rightarrow x = 3$$

Точка $x = 3 \in [2; +\infty)$ ⇒ допустима

4. Знак производной — исследуем поведение функции

Исследуем знак $y'(x) = \frac{\sqrt{x — 2} — 1}{\sqrt{x — 2}}$

• $\sqrt{x — 2} > 0$ для $x > 2$, поэтому знаменатель всегда положителен
• Знак производной определяется числителем: $\sqrt{x — 2} — 1$

a) $x < 3$ (например, $x = 2.5$):

$$\sqrt{2.5 — 2} = \sqrt{0.5} < 1 \Rightarrow y'(x) < 0$$

⇒ функция убывает

b) $x > 3$ (например, $x = 4$):

$$\sqrt{4 — 2} = \sqrt{2} > 1 \Rightarrow y'(x) > 0$$

⇒ функция возрастает

5. Характер экстремума

• В точке $x = 3$: производная меняется знак $— \to +$
  ⇒ точка минимума

Ответ:

$x = 3$ — точка минимума

б) $y = 4\sqrt{2x — 1} — x$

1. Область определения функции

Корень: $\sqrt{2x — 1}$
Подкоренное выражение должно быть ≥ 0:

$$2x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{1}{2}$$

Область определения: $x \in \left[\frac{1}{2}, +\infty\right)$

2. Найдём производную

$$y(x) = 4\sqrt{2x — 1} — x$$

Рассчитаем производную:

• $\frac{d}{dx}(\sqrt{2x — 1}) = \frac{1}{2\sqrt{2x — 1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x — 1}}$
• $\frac{d}{dx}(4\sqrt{2x — 1}) = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2x — 1}} = \frac{4}{\sqrt{2x — 1}}$
• $\frac{d}{dx}(x) = 1$

$$y'(x) = \frac{4}{\sqrt{2x — 1}} — 1$$

Запишем как одну дробь:

$$y'(x) = \frac{4 — \sqrt{2x — 1}}{\sqrt{2x — 1}}$$

3. Найдём критические точки

Приравниваем производную к нулю:

$$\frac{4-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-1}}=0\Rightarrow 4-\sqrt{2x-1}=0\Rightarrow \sqrt{2x-1}=4\Rightarrow$$

$$\frac{4 — \sqrt{2x — 1}}{\sqrt{2x — 1}} = 0 \Rightarrow 4 — \sqrt{2x — 1} = 0 \Rightarrow \sqrt{2x — 1} = 4 \Rightarrow 2x — 1 = 16 \Rightarrow x = \frac{17}{2} = 8{,}5$$

Проверка: $x = 8{,}5 \in \left[\frac{1}{2}, +\infty\right)$ ⇒ точка допустима

4. Знак производной — исследуем поведение функции

$$y'(x) = \frac{4 — \sqrt{2x — 1}}{\sqrt{2x — 1}}$$

• Знаменатель положителен при $x > \frac{1}{2}$
• Знак определяется числителем $4 — \sqrt{2x — 1}$

a) $x < 8{,}5$ (например, $x = 4$):

$$\sqrt{2 \cdot 4 — 1} = \sqrt{8 — 1} = \sqrt{7} \approx 2.65 < 4 \Rightarrow y'(x) > 0$$

⇒ функция возрастает

b) $x > 8{,}5$ (например, $x = 9$):

$$\sqrt{2 \cdot 9 — 1} = \sqrt{18 — 1} = \sqrt{17} \approx 4.12 > 4 \Rightarrow y'(x) < 0$$

⇒ функция убывает

5. Характер экстремума

• В точке $x = 8{,}5$: производная меняется знак $+ \to —$
  ⇒ точка максимума

Ответ:

$x = 8{,}5$ — точка максимума