ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.44 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти точки экстремума заданной функции и определить их характер:

а) $y = x — 2\cos x, \quad x \in [-\pi; \pi];$

Производная функции:
$y'(x) = (x)’ — 2(\cos x)’ = 1 — 2 \cdot (-\sin x) = 1 + 2\sin x;$

Промежуток возрастания:
$1 + 2\sin x \geq 0;$
$2\sin x \geq -1;$
$\sin x \geq -\frac{1}{2};$
$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n \leq x \leq \pi — \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n;$
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \pi — \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n;$
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2\pi n;$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6}$ — точка минимума;
$x = -\frac{5\pi}{6}$ — точка максимума.

б) $y = 2\sin x — x, \quad x \in [\pi; 3\pi];$

Производная функции:
$y'(x) = 2(\sin x)’ — (x)’ = 2\cos x — 1;$

Промежуток возрастания:
$2\cos x — 1 \geq 0;$
$2\cos x \geq 1;$
$\cos x \geq \frac{1}{2};$
$-\arccos\frac{1}{2} + 2\pi n \leq x \leq \arccos\frac{1}{2} + 2\pi n;$
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$

Ответ: $x = \frac{5\pi}{3}$ — точка минимума;
$x = \frac{7\pi}{3}$ — точка максимума.

а) $y = x — 2\cos x,\quad x \in [-\pi; \pi]$

1. Найдём производную функции

Дана функция:

$$y(x) = x — 2\cos x$$

Применим правила дифференцирования:

• $\frac{d}{dx}(x) = 1$
• $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$

Итак:

$$y'(x) = 1 — 2 \cdot (-\sin x) = 1 + 2\sin x$$

2. Найдём критические точки (где $y'(x) = 0$)

$$1 + 2\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x = -\frac{1}{2}$$

Вспоминаем, что:

$$\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Рассматриваем только $x \in [-\pi; \pi]$

Подставим $n = 0$:

• $x = -\frac{\pi}{6} \in [-\pi; \pi]$
• $x = -\frac{5\pi}{6} \in [-\pi; \pi]$

Следовательно, эти значения — критические точки.

3. Исследуем знак производной на интервалах

Производная:

$$y'(x) = 1 + 2\sin x$$

Чтобы определить характер экстремума, проверим знаки производной до и после каждой критической точки:

Интервалы:

• $[-\pi; -\frac{5\pi}{6})$
• $(-\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{6})$
• $(-\frac{\pi}{6}; \pi]$

Подставим значения:

a) $x = -\pi \Rightarrow \sin(-\pi) = 0$

$$y'(-\pi) = 1 + 2 \cdot 0 = 1 > 0 \Rightarrow \text{возрастает}$$

b) $x = -\frac{2\pi}{3} \Rightarrow \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$

$$y’ \approx 1 + 2 \cdot (-0.866) = 1 — 1.732 \approx -0.732 < 0 \Rightarrow \text{убывает}$$

4. Делим ось и делаем вывод о характере точек

• В точке $x = -\frac{5\pi}{6}$: $y'(x)$ меняется $+ \to —$ ⇒ максимум
• В точке $x = -\frac{\pi}{6}$: $y'(x)$ меняется $— \to +$ ⇒ минимум

Ответ:

• $x = -\frac{5\pi}{6}$ — точка максимума
• $x = -\frac{\pi}{6}$ — точка минимума

б) $y = 2\sin x — x,\quad x \in [\pi; 3\pi]$

1. Найдём производную

Функция:

$$y(x) = 2\sin x — x$$

Производная:

• $\frac{d}{dx}(2\sin x) = 2\cos x$
• $\frac{d}{dx}(x) = 1$

Итак:

$$y'(x) = 2\cos x — 1$$

2. Найдём критические точки (где $y'(x) = 0$)

$$2\cos x — 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$$

Находим решения $\cos x = \frac{1}{2}$

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Рассматриваем только те значения, которые входят в $[\pi; 3\pi]$

Пробуем $n = 1$:

• $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \in [\pi; 3\pi]$
• $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \in [\pi; 3\pi]$

Следовательно, критические точки:

$$x = \frac{5\pi}{3},\quad x = \frac{7\pi}{3}$$

3. Исследуем знак производной на интервалах

$$y'(x) = 2\cos x — 1$$

Промежутки:

• $[\pi;\ \frac{5\pi}{3})$
• $(\frac{5\pi}{3};\ \frac{7\pi}{3})$
• $(\frac{7\pi}{3};\ 3\pi]$

a) $x = \frac{4\pi}{3} \Rightarrow \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$

$$y'(x) = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) — 1 = -1 — 1 = -2 < 0 \Rightarrow \text{убывает}$$

b) $x = 2\pi \Rightarrow \cos(2\pi) = 1$

$$y'(2\pi) = 2 \cdot 1 — 1 = 1 > 0 \Rightarrow \text{возрастает}$$

c) $x = \frac{17\pi}{6} \approx 2.833\pi$

$\cos\left(\frac{17\pi}{6}\right) \approx \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

$$y’ \approx 2 \cdot 0.866 — 1 = 1.732 — 1 = 0.732 > 0 \Rightarrow \text{возрастает}$$

4. Определяем характер точек

• $x = \frac{5\pi}{3}$: $y’$ меняется $— \to +$ ⇒ минимум
• $x = \frac{7\pi}{3}$: $y’$ меняется $+ \to —$ ⇒ максимум

Ответ:

• $x = \frac{5\pi}{3}$ — точка минимума
• $x = \frac{7\pi}{3}$ — точка максимума