ГДЗ 10-11 Класс Номер 31.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) Постройте график функции $y=x^4-2x^2+3$.

б) При каких значениях параметра а уравнение $x^4-2x^2+3=a$ имеет три корня?

а) Построим график функции $y = x^4 — 2x^2 + 3$;

Область определения функции:
$D(y) = (-\infty; +\infty)$;

Функция является четной:
$y(-x) = (-x)^4 — 2(-x)^2 + 3 = x^4 — 2x^2 + 3 = y(x)$;

Производная функции:
$y'(x) = (x^4)’ — 2(x^2)’ + (3)’ = 4x^3 — 2 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 4x$;

Промежуток возрастания:
$4x^3 — 4x \geq 0$;
$4x(x^2 — 1) \geq 0$;
$(x + 1)x(x — 1) \geq 0$;
$-1 \leq x \leq 0$ или $x \geq 1$;
$x = \pm 1$ — точки минимума;
$x = 0$ — точка максимума;
$y_{\min} = (\pm 1)^4 — 2 \cdot (\pm 1)^2 + 3 = 1 — 2 + 3 = 2$;
$y_{\max} = 0^4 — 2 \cdot 0^2 + 3 = 3$;

Координаты некоторых точек:

График функции:

б) Уравнение $x^4 — 2x^2 + 3 = a$ имеет три корня при $a = 3$.

а) Построим график функции $y = x^4 — 2x^2 + 3$

1) Область определения функции

Функция — многочлен (многочлен четвёртой степени), а многочлены определены на всей числовой прямой.

Следовательно:

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

2) Чётность функции

Проверим чётность функции. Подставим $-x$ вместо $x$:

$$y(-x) = (-x)^4 — 2(-x)^2 + 3 = x^4 — 2x^2 + 3 = y(x)$$

Получили то же выражение, что и исходная функция ⇒

Функция чётная.

Вывод: график симметричен относительно оси $Oy$

3) Производная функции

Найдём первую производную:

$$y = x^4 — 2x^2 + 3 \Rightarrow y'(x) = (x^4)’ — 2(x^2)’ + (3)’ = 4x^3 — 4x$$

Найдём критические точки:

$$y'(x) = 4x^3 — 4x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 — 1) = 0 \Rightarrow 4x(x — 1)(x + 1) = 0$$

Решения:

$$x = -1, \quad x = 0, \quad x = 1$$

4) Исследование на экстремумы (возрастание и убывание)

Проанализируем знаки производной:

Разложение:

$$y'(x) = 4x(x — 1)(x + 1)$$

Построим числовую прямую с отмеченными корнями: $-1, 0, 1$. Определим знак производной на каждом промежутке.

• Промежуток $(-\infty, -1)$:
  • Выберем $x = -2$
  • $y'(-2) = 4 \cdot (-2) \cdot (-2 — 1) \cdot (-2 + 1) = 4 \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-1) = -24 < 0$
• Промежуток $(-1, 0)$:
  • Выберем $x = -0.5$
  • $y'(-0.5) = 4 \cdot (-0.5) \cdot (-1.5) \cdot (0.5) = +1.5 > 0$
• Промежуток $(0, 1)$:
  • Выберем $x = 0.5$
  • $y'(0.5) = 4 \cdot 0.5 \cdot (-0.5) \cdot (1.5) = -1.5 < 0$
• Промежуток $(1, +\infty)$:
  • Выберем $x = 2$
  • $y'(2) = 4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 = 24 > 0$

Итог:

5) Точки экстремума

Производная равна нулю в точках:

• $x = -1$
• $x = 0$
• $x = 1$

Рассмотрим поведение функции в этих точках.

Точка $x = -1$:

• Левее: производная отрицательная
• Правее: положительная ⇒ минимум

$$y(-1) = (-1)^4 — 2(-1)^2 + 3 = 1 — 2 + 3 = 2$$

Точка $x = 0$:

• Левее: производная положительная
• Правее: отрицательная ⇒ максимум

$$y(0) = 0^4 — 2 \cdot 0^2 + 3 = 3$$

Точка $x = 1$:

• Левее: производная отрицательная
• Правее: положительная ⇒ минимум

$$y(1) = 1^4 — 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 — 2 + 3 = 2$$

6) Координаты некоторых точек

7) График функции — словесное описание

• Функция определена на всей числовой прямой
• Чётная, симметрична относительно оси $Oy$
• Имеет два минимума при $x = -1$ и $x = 1$, значения $y = 2$
• Имеет максимум при $x = 0$, значение $y = 3$
• Значения при $x = \pm 2$: $y = 11$
• Поведение:
  • убывает на $(-\infty, -1)$
  • возрастает на $(-1, 0)$
  • убывает на $(0, 1)$
  • возрастает на $(1, +\infty)$

б) Уравнение $x^4 — 2x^2 + 3 = a$ имеет три корня при $a = 3$

Рассмотрим уравнение:

$$x^4 — 2x^2 + 3 = a$$

Решим:

$$x^4 — 2x^2 + 3 — a = 0 \Rightarrow x^4 — 2x^2 + (3 — a) = 0$$

Введём замену:
$t = x^2$, тогда $t \geq 0$

Получим квадратное уравнение:

$$t^2 — 2t + (3 — a) = 0$$

Для того чтобы уравнение имело три корня, необходимо, чтобы:

• квадратное уравнение по $t$ имело одно положительное корень-кратности 2 (дискриминант = 0)
• этот корень давал два разных значения $x$: $x = \pm\sqrt{t}$, т.е. один положительный и один отрицательный (два значения)
• и ещё один корень $x = 0$, если $t = 0$

Посмотрим, при каком значении $a$ дискриминант равен нулю:

$$D = (-2)^2 — 4(1)(3 — a) = 4 — 4(3 — a) = 4 — 12 + 4a = 4a — 8$$

Равенство $D = 0$ ⇒

$$4a — 8 = 0 \Rightarrow a = 2$$

Это даёт один корень кратности 2, но это даёт два значения $x$: $x = \pm \sqrt{t_0}$, всего два корня

Теперь вернёмся к вопросу: при каком $a$ уравнение имеет три корня?

Рассмотрим случай:

$$x^4 — 2x^2 + 3 = 3 \Rightarrow x^4 — 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2 — 2) = 0$$

Тогда:

• $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$
• $x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$

Итого: три корня: $x = -\sqrt{2},\; 0,\; \sqrt{2}$

Ответ:
Уравнение имеет три корня при $a=3$