ГДЗ 10-11 Класс Номер 31.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение с помощью исследования функций на монотонность:

а) $$$\sin 5x − 2 \cos x − 8x = x^5 − 2$;

Разделим уравнение на две функции:

$$f(x) = \sin 5x − 2 \cos x − 8x;$$ $$g(x) = x^5 − 2;$$

Производная первой функции:

$$f′(x) = (\sin 5x)’ − 2(\cos x)’ − (8x)’;$$ $$f′(x) = 5 \cdot \cos 5x − 2 \cdot (−\sin x) − 8;$$ $$f′(x) = (5 \cos 5x + 2 \sin x) − 8 < 0;$$

$5 \cos 5x \leq 5$, $2 \sin x \leq 2$;

Производная второй функции:

$$g′(x) = (x^5)’ − (2)’ = 5x^4 − 0 = 5x^4 \geq 0;$$

Методом перебора найдем решение:

$$f(0) = \sin(5 \cdot 0) − 2 \cos 0 − 8 \cdot 0 = 0 − 2 \cdot 1 − 0 = −2;$$ $$g(0) = 0^5 − 2 = −2;$$

Ответ: 0.

б) $\mathrm{}$$4 \cos 3x + 5 \sin(x/2) + 15x = 4 − x^3$;

Разделим уравнение на две функции:

$$f(x) = 4 \cos 3x + 5 \sin(x/2) + 15x;$$ $$g(x) = 4 − x^3;$$

Производная первой функции:

$$f′(x) = 4(\cos 3x)’ + 5(\sin(x/2))’ + (15x)’;$$ $$f′(x) = 4 \cdot 3 \cdot (−\sin 3x) + 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(x/2) + 15;$$ $$f′(x) = 2.5 \cos(x/2) + (15 − 12 \sin 3x) > 0;$$

$2.5 \cos(x/2) \geq -2.5$, $12 \sin 3x \leq 12$;

Производная второй функции:

$$g′(x) = (4)’ − (x^3)’ = 0 − 3x^2 = −3x^2 \leq 0;$$

Методом перебора найдем решение:

$$f(0) = 4 \cos(3 \cdot 0) + 5 \sin(0/2) + 15 \cdot 0 = 4 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 0 = 4;$$ $$g(0) = 4 − 0^3 = 4;$$

Ответ: 0.

а) Уравнение:

$$\sin 5x — 2 \cos x — 8x = x^5 — 2$$

Шаг 1: Представим уравнение как равенство двух функций

Разделим уравнение на две части:

• Левая часть:

  $$f(x) = \sin(5x) — 2 \cos x — 8x$$

• Правая часть:

  $$g(x) = x^5 — 2$$

Шаг 2: Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность

Найдём производную:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(5x)] — 2 \cdot \frac{d}{dx}[\cos x] — \frac{d}{dx}[8x]$$

Вычислим по правилу производной:

• $(\sin(5x))’ = 5 \cos(5x)$
• $(\cos x)’ = -\sin x \Rightarrow -2(-\sin x) = 2 \sin x$
• $(8x)’ = 8$

Итак:

$$f'(x) = 5 \cos(5x) + 2 \sin x — 8$$

Оценим максимальное значение производной

Максимальные значения:

• $\cos(5x) \leq 1 \Rightarrow 5 \cos(5x) \leq 5$
• $\sin x \leq 1 \Rightarrow 2 \sin x \leq 2$

Следовательно:

$$f'(x) \leq 5 + 2 — 8 = -1$$

Иными словами, производная всегда меньше либо равна −1, то есть:

$$f'(x) < 0 \quad \text{при всех } x$$

Вывод:
Функция $f(x)$ строго убывает на всей числовой прямой.

Шаг 3: Исследуем функцию $g(x) = x^5 — 2$

Найдём производную:

$$g'(x) = \frac{d}{dx}[x^5 — 2] = 5x^4$$

• $x^4 \geq 0 \Rightarrow 5x^4 \geq 0$
• Производная равна нулю только при $x = 0$, на остальной области положительна

Вывод:
Функция $g(x)$ не убывает, а строго возрастает при $x \ne 0$

Шаг 4: Вывод по монотонности

• $f(x)$ строго убывает
• $g(x)$ строго возрастает

Следствие: графики этих функций могут пересечься не более одного раза.
Значит, уравнение имеет не более одного корня.

Шаг 5: Подбор корня

Проверим $x = 0$:

• Левая часть:

$$f(0) = \sin(0) — 2 \cos(0) — 8 \cdot 0 = 0 — 2 \cdot 1 — 0 = -2$$

• Правая часть:

$$g(0) = 0^5 — 2 = -2$$

Обе стороны равны ⇒ $x = 0$ — решение уравнения.

Ответ: $\boxed{0}$

б) Уравнение:

$$4 \cos(3x) + 5 \sin\left(\frac{x}{2}\right) + 15x = 4 — x^3$$

Шаг 1: Представим уравнение как равенство двух функций

• Левая часть:

  $$f(x) = 4 \cos(3x) + 5 \sin\left(\frac{x}{2}\right) + 15x$$

• Правая часть:

  $$g(x) = 4 — x^3$$

Шаг 2: Найдём производную функции $f(x)$

$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left[4 \cos(3x)\right] + \frac{d}{dx}\left[5 \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right] + \frac{d}{dx}[15x]$$

По правилу дифференцирования:

• $(4 \cos(3x))’ = -12 \sin(3x)$
• $(5 \sin(x/2))’ = \frac{5}{2} \cos(x/2)$
• $(15x)’ = 15$

Итак:

$$f'(x) = -12 \sin(3x) + \frac{5}{2} \cos\left(\frac{x}{2}\right) + 15$$

Оценим минимальное значение производной

Из свойств тригонометрических функций:

• $\sin(3x) \in [-1, 1] \Rightarrow -12 \sin(3x) \geq -12$
• $\cos(x/2) \in [-1, 1] \Rightarrow \frac{5}{2} \cos(x/2) \geq -\frac{5}{2}$

Минимальное значение производной:

$$f'(x) \geq -12 — \frac{5}{2} + 15 = -\frac{24 + 5}{2} + 15 = -\frac{29}{2} + 15 = -14.5 + 15 = 0.5$$

Вывод:
$f'(x) > 0$ при всех $x$, то есть функция строго возрастает.

Шаг 3: Исследуем функцию $g(x) = 4 — x^3$

Производная:

$$g'(x) = -3x^2 \leq 0 \quad \text{при всех } x$$

Вывод:
Функция $g(x)$ строго убывает при $x \ne 0$, не возрастает при всех $x$

Шаг 4: Вывод по монотонности

• $f(x)$ возрастает
• $g(x)$ убывает

Следовательно: графики пересекаются не более одного раза ⇒ одно решение

Шаг 5: Подбор корня

Проверим $x = 0$:

• Левая часть:

$$f(0) = 4 \cos(0) + 5 \sin(0) + 15 \cdot 0 = 4 \cdot 1 + 0 + 0 = 4$$

• Правая часть:

$$g(0) = 4 — 0^3 = 4$$

Обе стороны равны ⇒ $x = 0$ — решение уравнения

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 0}}$