ГДЗ 10-11 Класс Номер 31.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение с помощью исследования функций на монотонность:

а) $\mathrm{}$$3 \cos \dfrac{\pi x}{2} + 5 \sin \dfrac{\pi x}{2} + 18x = 46 — x^5 — 22x^3$;

Разделим уравнение на две функции:

$$f(x) = 3 \cos \dfrac{\pi x}{2} + 5 \sin \dfrac{\pi x}{2} + 18x;$$ $$g(x) = 46 — x^5 — 22x^3;$$

Производная первой функции:

$$f'(x) = 3 \left( \cos \dfrac{\pi x}{2} \right)’ + 5 \left( \sin \dfrac{\pi x}{2} \right)’ + (18x)’;$$ $$f'(x) = 3 \cdot \dfrac{\pi}{2} \cdot \left( -\sin \dfrac{\pi x}{2} \right) + 5 \cdot \dfrac{\pi}{2} \cdot \cos \dfrac{\pi x}{2} + 18;$$ $$f'(x) = \dfrac{\pi}{2} \left( 5 \cos \dfrac{\pi x}{2} — 3 \sin \dfrac{\pi x}{2} \right) + 18 > 0;$$ $$5 \cos \dfrac{\pi x}{2} \geq -5, \quad 3 \sin \dfrac{\pi x}{2} \leq 3, \quad -4\pi > -13;$$

Производная второй функции:

$$g'(x) = (46)’ — (x^5)’ — 22(x^3)’;$$ $$g'(x) = 0 — 5x^4 — 22 \cdot 3x^2 = -5x^4 — 66x^2 \leq 0;$$

Методом перебора найдем решение:

$$f(1) = 3 \cos \dfrac{\pi \cdot 1}{2} + 5 \sin \dfrac{\pi \cdot 1}{2} + 18 \cdot 1 = 3 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 18 = 23;$$ $$g(1) = 46 — 1^5 — 22 \cdot 1^3 = 46 — 1 — 22 = 23;$$

Ответ: 1.

б) $$$\sin \dfrac{\pi x}{2} — 2 \cos \pi x — 8x = x^5 — 50$;

Разделим уравнение на две функции:

$$f(x) = \sin \dfrac{\pi x}{2} — 2 \cos \pi x — 8x;$$ $$g(x) = x^5 — 50;$$

Производная первой функции:

$$f'(x) = \left( \sin \dfrac{\pi x}{2} \right)’ — 2(\cos \pi x)’ — (8x)’;$$ $$f'(x) = \dfrac{\pi}{2} \cdot \cos \dfrac{\pi x}{2} — 2 \cdot \pi \cdot (-\sin \pi x) — 8;$$ $$f'(x) = \dfrac{\pi}{2} \left( \cos \dfrac{\pi x}{2} + 4 \sin \pi x \right) — 8 < 0;$$ $$\cos \dfrac{\pi x}{2} \leq 1, \quad 4 \sin \pi x \leq 4, \quad \dfrac{5\pi}{2} < 8;$$

Производная второй функции:

$$g'(x) = (x^5)’ — (50)’ = 5x^4 — 0 = 5x^4;$$

Методом перебора найдем решение:

$$f(2) = \sin \dfrac{\pi \cdot 2}{2} — 2 \cos (\pi \cdot 2) — 8 \cdot 2 = 0 — 2 \cdot 1 — 16 = -18;$$ $$g(2) = 2^5 — 50 = 32 — 50 = -18;$$

Ответ: 2.

а) Уравнение:

$$3 \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) + 5 \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) + 18x = 46 — x^5 — 22x^3$$

Шаг 1. Разделение на функции

Запишем уравнение как равенство двух функций:

• Левая часть:

  $$f(x) = 3 \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) + 5 \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) + 18x$$

• Правая часть:

  $$g(x) = 46 — x^5 — 22x^3$$

Шаг 2. Найдём производную функции $f(x)$

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ 3 \cos\left( \frac{\pi x}{2} \right) \right] + \frac{d}{dx} \left[ 5 \sin\left( \frac{\pi x}{2} \right) \right] + \frac{d}{dx}(18x)$$

Применим производные сложных функций:

• $\frac{d}{dx} \cos(kx) = -k \sin(kx)$
• $\frac{d}{dx} \sin(kx) = k \cos(kx)$

Результат:

$$f'(x) = 3 \cdot \left( -\frac{\pi}{2} \sin\left( \frac{\pi x}{2} \right) \right) + 5 \cdot \left( \frac{\pi}{2} \cos\left( \frac{\pi x}{2} \right) \right) + 18$$ $$f'(x) = \frac{\pi}{2} \left( 5 \cos\left( \frac{\pi x}{2} \right) — 3 \sin\left( \frac{\pi x}{2} \right) \right) + 18$$

Шаг 3. Знак производной $f'(x)$

Используем границы значений тригонометрических функций:

• $\cos\left( \frac{\pi x}{2} \right) \in [-1, 1] \Rightarrow 5 \cos\left( \frac{\pi x}{2} \right) \in [-5, 5]$
• $\sin\left( \frac{\pi x}{2} \right) \in [-1, 1] \Rightarrow 3 \sin\left( \frac{\pi x}{2} \right) \in [-3, 3]$

Оценим:

$$5 \cos\left( \frac{\pi x}{2} \right) — 3 \sin\left( \frac{\pi x}{2} \right) \geq -5 — 3 = -8$$

Значит:

$$f'(x) \geq \frac{\pi}{2} \cdot (-8) + 18 = -4\pi + 18 \approx -12.56 + 18 = 5.44$$

Это положительно при всех $x$.

Вывод: функция $f(x)$ строго возрастает на всей области определения.

Шаг 4. Найдём производную функции $g(x)$

$$g(x) = 46 — x^5 — 22x^3$$

Найдём производную:

$$g'(x) = -5x^4 — 66x^2$$

Здесь:

• $x^4 \geq 0$, $x^2 \geq 0$
• Значит, $g'(x) \leq 0$, а равна нулю только в точке $x = 0$

Вывод: функция $g(x)$ не возрастает, строго убывает при $x \ne 0$

Шаг 5. Вывод по монотонности

• $f(x)$ — строго возрастает
• $g(x)$ — строго убывает

Следовательно, графики функций могут пересечься не более одного раза
⇒ уравнение имеет не более одного корня

Шаг 6. Подбор корня

Проверим $x = 1$:

• Левая часть:

$$f(1) = 3 \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) + 5 \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + 18 = 3 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 18 = 23$$

• Правая часть:

$$g(1) = 46 — 1^5 — 22 \cdot 1^3 = 46 — 1 — 22 = 23$$

Обе части равны ⇒ это и есть корень

Ответ: $\boxed{1}$

б) Уравнение:

$$\sin\left( \frac{\pi x}{2} \right) — 2 \cos(\pi x) — 8x = x^5 — 50$$

Шаг 1. Разделение на функции

• Левая часть:

  $$f(x) = \sin\left( \frac{\pi x}{2} \right) — 2 \cos(\pi x) — 8x$$

• Правая часть:

  $$g(x) = x^5 — 50$$

Шаг 2. Найдём производную функции $f(x)$

$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left[ \sin\left( \frac{\pi x}{2} \right) \right] — 2 \cdot \frac{d}{dx} \left[ \cos(\pi x) \right] — 8$$

Вычислим:

• $\left( \sin\left( \frac{\pi x}{2} \right) \right)’ = \frac{\pi}{2} \cos\left( \frac{\pi x}{2} \right)$
• $\left( \cos(\pi x) \right)’ = -\pi \sin(\pi x) \Rightarrow -2 \cdot (-\pi \sin(\pi x)) = 2\pi \sin(\pi x)$

$$f'(x) = \frac{\pi}{2} \cos\left( \frac{\pi x}{2} \right) + 2\pi \sin(\pi x) — 8$$

Вынесем $\frac{\pi}{2}$:

$$f'(x) = \frac{\pi}{2} \left( \cos\left( \frac{\pi x}{2} \right) + 4 \sin(\pi x) \right) — 8$$

Шаг 3. Оценка производной $f'(x)$

Максимальные значения:

• $\cos\left( \frac{\pi x}{2} \right) \leq 1$
• $\sin(\pi x) \leq 1 \Rightarrow 4 \sin(\pi x) \leq 4$

$$\cos\left( \frac{\pi x}{2} \right) + 4 \sin(\pi x) \leq 1 + 4 = 5 \Rightarrow f'(x) \leq \frac{\pi}{2} \cdot 5 — 8 \approx 7.85 — 8 = -0.15$$

Значит, $f'(x) < 0$

Вывод: функция $f(x)$ строго убывает

Шаг 4. Найдём производную функции $g(x)$

$$g(x) = x^5 — 50 \Rightarrow g'(x) = 5x^4 \geq 0$$

Равна нулю только при $x = 0$, возрастает при $x \ne 0$

Шаг 5. Вывод по монотонности

• $f(x)$ — строго убывает
• $g(x)$ — строго возрастает

Графики могут пересечься не более одного раза ⇒ один корень

Шаг 6. Подбор корня

Проверим $x = 2$:

• Левая часть:

$$f(2) = \sin\left( \pi \right) — 2 \cos(2\pi) — 16 = 0 — 2 \cdot 1 — 16 = -18$$

• Правая часть:

$$g(2) = 2^5 — 50 = 32 — 50 = -18$$

Совпадает ⇒ $x = 2$ — корень

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 2}}$