ГДЗ 10-11 Класс Номер 31.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследовать функцию и построить ее график:

а) $y=x^3-3x^2+2$

Область определения функции:
$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$

Функция не является ни четной, ни нечетной:

$$y(-x)=(-x{)}^3-3(-x{)}^2+2=-x^3-3x^2+2$$

У функции отсутствуют асимптоты;

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-3(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(2{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2-6x$$

Промежуток возрастания:

$$3x^2-6x\ge 0\Rightarrow 3x(x-2)\ge 0\Rightarrow x\le 0\text{ или }x\ge 2$$$$x=2\text{ — точка минимума};x=0\text{ — точка максимума}$$$$y_{\min }=2^3-3\cdot 2^2+2=8-12+2=-2;y_{\max }=0^3-3\cdot 0^2+2=2$$

Функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };0]\cup [2;+\mathrm{\infty })$;
Функция убывает на $[0;2]$

Координаты некоторых точек:

График функции:

б) $y=-x^3+3x-2$

Область определения функции:
$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$

Функция не является ни четной, ни нечетной:

$$y(-x)=-(-x{)}^3+3(-x)-2=x^3-3x-2$$

У функции отсутствуют асимптоты;

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=-(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+(3x-2{)}^{\mathrm{\prime }}=-3x^2+3$$

Промежуток возрастания:

$$-3x^2+3\ge 0\Rightarrow x^2-1\le 0\Rightarrow -1\le x\le 1$$$$x=-1\text{ — точка минимума};x=1\text{ — точка максимума}$$$$y_{\min }=-(-1{)}^3+3\cdot (-1)-2=1-3-2=-4$$$$y_{\max }=-1^3+3\cdot 1-2=-1+3-2=0$$

Функция возрастает на $[-1;1]$;
Функция убывает на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [1;+\mathrm{\infty })$

Координаты некоторых точек:

График функции:

в) $y=-x^3+6x^2-5$

Область определения функции:
$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$

Функция не является ни четной, ни нечетной:

$$y(-x)=-(-x{)}^3+6(-x{)}^2-5=x^3+6x^2-5$$

У функции отсутствуют асимптоты;

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=-(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+6(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(5{)}^{\mathrm{\prime }}=-3x^2+12x$$

Промежуток возрастания:

$$12x-3x^2\ge 0\Rightarrow 3x(4-x)\ge 0\Rightarrow 0\le x\le 4$$$$x=0\text{ — точка минимума};x=4\text{ — точка максимума}$$$$y_{\min }=-0^3+6\cdot 0^2-5=-5;y_{\max }=-64+96-5=27$$

Функция возрастает на $[0;4]$;
Функция убывает на $(-\mathrm{\infty };0]\cup [4;+\mathrm{\infty })$

Координаты некоторых точек:

График функции:

г) $y=x^3-3x+2$

Область определения функции:
$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$

Функция не является ни четной, ни нечетной:

$$y(-x)=(-x{)}^3-3(-x)+2=-x^3+3x+2$$

У функции отсутствуют асимптоты;

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+(-3x+2{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2-3$$

Промежуток возрастания:

$$3x^2-3\ge 0\Rightarrow x^2-1\ge 0\Rightarrow x\le -1\text{ или }x\ge 1$$$$x=1\text{ — точка минимума};x=-1\text{ — точка максимума}$$$$y_{\min }=1^3-3\cdot 1+2=0;y_{\max }=(-1{)}^3-3\cdot (-1)+2=-1+3+2=4$$

Функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [1;+\mathrm{\infty })$;
Функция убывает на $[-1;1]$

Координаты некоторых точек:

График функции:

а) $y=x^3-3x^2+2$

Шаг 1. Область определения (ОДЗ)

Функция является многочленом третьей степени — сумма одночленов. Многочлены определены для любых значений $x$, поэтому:

Ответ:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$$

Шаг 2. Чётность / нечётность

Проверим функцию на чётность/нечётность.

Подставим $-x$ вместо $x$:

$$y(-x)=(-x{)}^3-3(-x{)}^2+2=-x^3-3x^2+2$$

Сравним:

• $y(-x)\mathrm{\ne }y(x)$ — функция не чётная
• $y(-x)\mathrm{\ne }-y(x)$ — функция не нечётная

Вывод:
Функция не является ни чётной, ни нечётной

Шаг 3. Асимптоты

У многочленов:

• нет вертикальных асимптот, потому что функция определена на всей числовой прямой;
• нет горизонтальных асимптот, так как степень числителя больше нуля;
• нет наклонных асимптот, потому что поведение функции на бесконечности задаёт сам многочлен.

Ответ:
Асимптоты отсутствуют

Шаг 4. Найдём производную

Производная нужна для нахождения:

• точек экстремума
• промежутков возрастания и убывания

Функция:

$$y(x)=x^3-3x^2+2$$

Найдём производную:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-3(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(2{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2-6x+0=3x^2-6x$$

Найдём критические точки (где $y^{\mathrm{\prime }}(x)=0$):

$$3x^2-6x=0\Rightarrow 3x(x-2)=0\Rightarrow x=0,x=2$$

Исследуем знаки производной (метод интервалов)

Разбиваем ось $x$ на интервалы:

• $(-\mathrm{\infty };0)$
• $(0;2)$
• $(2;+\mathrm{\infty })$

Проверим знак производной на каждом интервале:

• $x=-1\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}(-1)=3-(-6)=9>0$ → возрастает
• $x=1\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}(1)=3-6=-3<0$ → убывает
• $x=3\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}(3)=27-18=9>0$ → возрастает

Промежутки монотонности:

• $y^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ на $(-\mathrm{\infty };0)$ и $(2;+\mathrm{\infty })$ → возрастает
• $y^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ на $(0;2)$ → убывает

Типы критических точек (экстремумы):

• В $x=0$: производная меняет знак с + на — → максимум
• В $x=2$: производная меняет знак с — на + → минимум

Шаг 5. Найдём значения функции в точках экстремума

• $y(0)=0^3-3\cdot 0^2+2=2$
• $y(2)=8-12+2=-2$

Ответ:

• Максимум в точке $(0;2)$
• Минимум в точке $(2;-2)$

Шаг 6. Промежутки возрастания и убывания

• Возрастание: $(-\mathrm{\infty };0]\cup [2;+\mathrm{\infty })$
• Убывание: $[0;2]$

Шаг 7. Вычислим несколько точек для построения графика

Промежуточные вычисления:

• $y(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2+2=-1-3+2=-2$
• $y(1)=1-3+2=0$
• $y(3)=27-27+2=2$

Шаг 8. Построение графика (словесное описание)

• Кривая проходит через:
  • $(-1;-2)$
  • $(0;2)$ — максимум
  • $(1;0)$
  • $(2;-2)$ — минимум
  • $(3;2)$
• Слева до $x=0$ — рост
• От $x=0$ до $x=2$ — убывание
• После $x=2$ — снова рост
• Кубическая форма с двумя изгибами (типичная «волна» третьей степени)

Краткий итог по функции $y=x^3-3x^2+2$:

б) $y=-x^3+3x-2$

Шаг 1. Область определения (ОДЗ)

Функция — это многочлен третьей степени, а многочлены определены на всей числовой прямой.

Ответ:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$$

Шаг 2. Чётность / нечётность

Подставим $-x$ вместо $x$:

$$y(-x)=-(-x{)}^3+3(-x)-2=x^3-3x-2$$

Сравним с $y(x)=-x^3+3x-2$:

• $y(-x)\mathrm{\ne }y(x)$ → не чётная
• $y(-x)\mathrm{\ne }-y(x)$ → не нечётная

Вывод:
Функция не является ни чётной, ни нечётной

Шаг 3. Асимптоты

Так как функция является многочленом:

• Нет вертикальных асимптот — функция определена всюду
• Нет горизонтальных и наклонных асимптот — степень числителя больше 1

Ответ:
Асимптоты отсутствуют

Шаг 4. Производная функции

Исходная функция:

$$y(x)=-x^3+3x-2$$

Найдём первую производную:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(-x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+(3x{)}^{\mathrm{\prime }}-(2{)}^{\mathrm{\prime }}=-3x^2+3$$

Найдём критические точки (где $y^{\mathrm{\prime }}(x)=0$):

$$-3x^2+3=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$$

Анализ производной (знаки)

Рассмотрим интервалы:

• $(-\mathrm{\infty };-1)$
• $(-1;1)$
• $(1;+\mathrm{\infty })$

Проверим знак $y^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+3$:

• На $x=-2$:
  $y^{\mathrm{\prime }}(-2)=-12+3=-9<0$ → убывает
• На $x=0$:
  $y^{\mathrm{\prime }}(0)=3>0$ → возрастает
• На $x=2$:
  $y^{\mathrm{\prime }}(2)=-12+3=-9<0$ → убывает

Вывод по производной:

• На $[-1;1]$: $y^{\mathrm{\prime }}(x)\ge 0$ → функция возрастает
• На $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [1;+\mathrm{\infty })$: $y^{\mathrm{\prime }}(x)\le 0$ → функция убывает

Типы экстремумов:

• $x=-1$: производная меняется с минуса на плюс → минимум
• $x=1$: производная меняется с плюса на минус → максимум

Шаг 5. Значения функции в экстремумах

• $y(-1)=-(-1{)}^3+3(-1)-2=1-3-2=-4$
• $y(1)=-1+3-2=0$

Ответ:

• Минимум: $(-1;-4)$
• Максимум: $(1;0)$

Шаг 6. Промежутки монотонности

• Возрастание: $[-1;1]$
• Убывание: $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [1;+\mathrm{\infty })$

Шаг 7. Точки для построения графика

Подставим значения:

Вычисления:

• $y(-2)=-(-8)+3(-2)-2=8-6-2=0$
• $y(0)=0+0-2=-2$
• $y(2)=-8+6-2=-4$

Шаг 8. Построение графика (словесное описание)

• Кривая проходит через:
  • $(-2;0)$
  • $(-1;-4)$ — минимум
  • $(0;-2)$
  • $(1;0)$ — максимум
  • $(2;-4)$
• Поведение:
  • убывает до $x=-1$
  • возрастает на $[-1;1]$
  • убывает после $x=1$

График имеет S-образную форму, симметричную по расположению максимумов и минимумов.

Краткий итог по функции $y=-x^3+3x-2$:

в) $y=-x^3+6x^2-5$

Шаг 1. Область определения (ОДЗ)

Функция — это многочлен третьей степени. Многочлены определены для всех $x$.

Ответ:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$$

Шаг 2. Чётность / нечётность

Подставим $-x$ вместо $x$:

$$y(-x)=-(-x{)}^3+6(-x{)}^2-5=x^3+6x^2-5$$

Сравним:

• $y(-x)\mathrm{\ne }y(x)$ — не чётная
• $y(-x)\mathrm{\ne }-y(x)$ — не нечётная

Вывод:
Функция не является ни чётной, ни нечётной

Шаг 3. Асимптоты

Функция — многочлен, а у многочленов:

• Нет вертикальных асимптот
• Нет горизонтальных асимптот
• Нет наклонных асимптот

Ответ:
Асимптоты отсутствуют

Шаг 4. Производная функции

Исходная функция:

$$y(x)=-x^3+6x^2-5$$

Находим первую производную:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(-x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+6(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(5{)}^{\mathrm{\prime }}=-3x^2+12x+0=-3x^2+12x$$

Найдём критические точки (где $y^{\mathrm{\prime }}(x)=0$)

$$-3x^2+12x=0\Rightarrow -3x(x-4)=0\Rightarrow x=0\text{ или }x=4$$

Анализ производной: знаки

Рассмотрим интервалы:

• $(-\mathrm{\infty };0)$
• $(0;4)$
• $(4;+\mathrm{\infty })$

Подставим точки в $y^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+12x$:

• $x=-1$: $y^{\mathrm{\prime }}=-3+(-12)=-15<0$ → убывает
• $x=2$: $y^{\mathrm{\prime }}=-12+24=12>0$ → возрастает
• $x=5$: $y^{\mathrm{\prime }}=-75+60=-15<0$ → убывает

Вывод по производной:

• Функция убывает на $(-\mathrm{\infty };0)$
• Функция возрастает на $[0;4]$
• Функция убывает на $[4;+\mathrm{\infty })$

Типы точек:

• $x=0$: производная меняется с минуса на плюс → минимум
• $x=4$: производная меняется с плюса на минус → максимум

Шаг 5. Значения функции в экстремумах

• $y(0)=-0+0-5=-5$
• $y(4)=-64+96-5=27$

Ответ:

• Минимум в $(0;-5)$
• Максимум в $(4;27)$

Шаг 6. Промежутки монотонности

• Возрастает на $[0;4]$
• Убывает на $(-\mathrm{\infty };0]\cup [4;+\mathrm{\infty })$

Шаг 7. Точки для построения

Подставим:

• $x=-2$:
  $y=-(-8)+6\cdot 4-5=8+24-5=27$
• $x=2$:
  $y=-8+24-5=11$
• $x=5$:
  $y=-125+150-5=20$

Таблица:

Шаг 8. Построение графика (словесное описание)

• Кривая проходит через:
  • $(-2;27)$
  • $(0;-5)$ — минимум
  • $(2;11)$
  • $(4;27)$ — максимум
  • $(5;20)$
• Поведение:
  • убывает до $x=0$
  • возрастает от $x=0$ до $x=4$
  • убывает после $x=4$
• Форма — волнообразная кривая (характерна для кубических функций с двумя экстремумами)

Краткий итог по функции $y=-x^3+6x^2-5$:

г) $y=x^3-3x+2$

Шаг 1. Область определения (ОДЗ)

Это многочлен третьей степени, а многочлены определены для всех $x\in \mathbb{R}$.

Ответ:

$$D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$$

Шаг 2. Чётность / нечётность

Проверим функцию на чётность или нечётность.

$$y(-x)=(-x{)}^3-3(-x)+2=-x^3+3x+2$$

Сравним:

• $y(-x)\mathrm{\ne }y(x)$ — не чётная
• $y(-x)\mathrm{\ne }-y(x)$ — не нечётная

Вывод:
Функция не является ни чётной, ни нечётной

Шаг 3. Асимптоты

У многочленов:

• нет вертикальных асимптот (везде определены),
• нет горизонтальных асимптот (при $x\to \pm \mathrm{\infty }$, $y\to \pm \mathrm{\infty }$),
• нет наклонных асимптот (многочлен сам задаёт поведение).

Ответ:
Асимптоты отсутствуют

Шаг 4. Первая производная

Исходная функция:

$$y(x)=x^3-3x+2$$

Находим производную:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-(3x{)}^{\mathrm{\prime }}+(2{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2-3$$

Найдём критические точки:

$$3x^2-3=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$$

Определим знак производной на интервалах:

Интервалы:

• $(-\mathrm{\infty };-1)$
• $(-1;1)$
• $(1;+\mathrm{\infty })$

Подставим значения:

• $x=-2$:
  $y^{\mathrm{\prime }}(-2)=3\cdot 4-3=9>0$ → возрастает
• $x=0$:
  $y^{\mathrm{\prime }}(0)=-3<0$ → убывает
• $x=2$:
  $y^{\mathrm{\prime }}(2)=3\cdot 4-3=9>0$ → возрастает

Промежутки:

• $y$ возрастает на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [1;+\mathrm{\infty })$
• $y$ убывает на $[-1;1]$

Типы экстремумов:

• $x=-1$: производная меняется с + на – → максимум
• $x=1$: производная меняется с – на + → минимум

Шаг 5. Значения функции в экстремумах

• $y(-1)=(-1{)}^3-3(-1)+2=-1+3+2=4$
• $y(1)=1-3+2=0$

Ответ:

• Максимум: $(-1;4)$
• Минимум: $(1;0)$

Шаг 6. Промежутки монотонности

• Возрастает на $(-\mathrm{\infty };-1]\cup [1;+\mathrm{\infty })$
• Убывает на $[-1;1]$

Шаг 7. Точки для построения

Подставим значения:

Вычисления:

• $y(-2)=-8+6+2=0$
• $y(0)=0-0+2=2$
• $y(2)=8-6+2=4$

Шаг 8. Построение графика (словесно)

• Кривая проходит через:
  • $(-2;0)$
  • $(-1;4)$ — максимум
  • $(0;2)$
  • $(1;0)$ — минимум
  • $(2;4)$
• Поведение:
  • возрастает до $x=-1$
  • убывает от $x=-1$ до $x=1$
  • затем снова возрастает
• Характерная S-форма графика кубической функции

Краткий итог по функции $y=x^3-3x+2$: