ГДЗ 10-11 Класс Номер 31.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследовать функцию и построить ее график:

а) $y = 2x^3 + x^2 — 8x — 7$;

Область определения функции:
$D(y) = (-\infty; +\infty)$;

Функция не является ни четной, ни нечетной:
$y(-x) = 2(-x)^3 + (-x)^2 — 8(-x) — 7 = -2x^3 + x^2 + 8x — 7$;

У функции отсутствуют асимптоты;

Производная функции:
$y'(x) = 2(x^3)’ + (x^2)’ + (-8x — 7)’$;
$y'(x) = 2 \cdot 3x^2 + 2x — 8 = 6x^2 + 2x — 8$;

Промежуток возрастания:
$6x^2 + 2x — 8 \geq 0$;
$3x^2 + x — 4 \geq 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 + 48 = 49$, тогда:
$x_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 3} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$;
$x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$;
$\left(x + 1\frac{1}{3}\right)(x — 1) \geq 0$;
$x \leq -1\frac{1}{3}$ или $x \geq 1$;
$x = 1$ — точка минимума;
$x = -1\frac{1}{3}$ — точка максимума;

$y_{min} = 2 \cdot 1^3 + 1^2 — 8 \cdot 1 — 7 = 2 + 1 — 8 — 7 = -12$;
$y_{max} = 2 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)^3 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 — 8 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) — 7 = -\frac{128}{27} + \frac{16}{9} + \frac{32}{3} — 7 = \frac{19}{27}$;

Функция возрастает на $\left(-\infty; -1\frac{1}{3}\right] \cup [1; +\infty)$;
Функция убывает на $\left[-1\frac{1}{3}; 1\right]$;

Координаты некоторых точек:

График функции:

б) $y = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x — \frac{11}{3}$;

Область определения функции:
$D(y) = (-\infty; +\infty)$;

Функция не является ни четной, ни нечетной:
$y(-x) = -\frac{(-x)^3}{3} + (-x)^2 + 3(-x) — \frac{11}{3} = \frac{x^3}{3} + x^2 — 3x — \frac{11}{3}$;

У функции отсутствуют асимптоты;

Производная функции:
$y'(x) = -\frac{1}{3}(x^3)’ + (x^2)’ + \left(3x — \frac{11}{3}\right)’$;
$y'(x) = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x + 3 = -x^2 + 2x + 3$;

Промежуток возрастания:
$-x^2 + 2x + 3 \geq 0$;
$x^2 — 2x — 3 \leq 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1$, $x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$;
$(x + 1)(x — 3) \leq 0$;
$-1 \leq x \leq 3$;
$x = -1$ — точка минимума;
$x = 3$ — точка максимума;

$y_{min} = -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) — \frac{11}{3} = \frac{1}{3} + 1 — 3 — \frac{11}{3} = -5\frac{1}{3}$;
$y_{max} = -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3 — \frac{11}{3} = -9 + 9 + 9 — \frac{11}{3} = 5\frac{1}{3}$;

Функция возрастает на $[-1; 3]$;
Функция убывает на $(-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$;

Координаты некоторых точек:

График функции:

в) $y = x^3 + x^2 — x — 1$;

Область определения функции:
$D(y) = (-\infty; +\infty)$;

Функция не является ни четной, ни нечетной:
$y(-x) = (-x)^3 + (-x)^2 — (-x) — 1 = -x^3 + x^2 + x — 1$;

У функции отсутствуют асимптоты;

Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ + (x^2)’ + (-x — 1) = 3x^2 + 2x — 1$;

Промежуток возрастания:
$3x^2 + 2x — 1 \geq 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$x_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = -\frac{6}{6} = -1$;
$x_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$;
$(x + 1)\left(x — \frac{1}{3}\right) \geq 0$;
$x \leq -1$ или $x \geq \frac{1}{3}$;
$x = \frac{1}{3}$ — точка минимума;
$x = -1$ — точка максимума;

$y_{min} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 — \frac{1}{3} — 1 = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} — \frac{1}{3} — 1 = -\frac{32}{27} = -1\frac{5}{27}$;
$y_{max} = (-1)^3 + (-1)^2 — (-1) — 1 = -1 + 1 + 1 — 1 = 0$;

Функция возрастает на $(-\infty; -1] \cup \left[\frac{1}{3}; +\infty\right)$;
Функция убывает на $\left[-1; \frac{1}{3}\right]$;

Координаты некоторых точек:

График функции:

г) $y = \frac{x^3}{3} + x^2 — 3x + \frac{5}{3}$;

Область определения функции:
$D(y) = (-\infty; +\infty)$;

Функция не является ни четной, ни нечетной:
$y(-x) = \frac{(-x)^3}{3} + (-x)^2 — 3(-x) + \frac{5}{3} = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x + \frac{5}{3}$;

У функции отсутствуют асимптоты;

Производная функции:
$y'(x) = \frac{1}{3}(x^3)’ + (x^2)’ + \left(-3x + \frac{5}{3}\right)’$;
$y'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x — 3 = x^2 + 2x — 3$;

Промежуток возрастания:
$x^2 + 2x — 3 \geq 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3$, $x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$;
$(x + 3)(x — 1) \geq 0$;
$x \leq -3$ или $x \geq 1$;
$x = 1$ — точка минимума;
$x = -3$ — точка максимума;

$y_{min} = \frac{1^3}{3} + 1^2 — 3 \cdot 1 + \frac{5}{3} = \frac{1}{3} + 1 — 3 + \frac{5}{3} = 0$;
$y_{max} = \frac{(-3)^3}{3} + (-3)^2 — 3(-3) + \frac{5}{3} = -9 + 9 + 9 + \frac{5}{3} = 10\frac{2}{3}$;

Функция возрастает на $(-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$;
Функция убывает на $[-3; 1]$;

Координаты некоторых точек:

График функции:

а) Функция:
$y = 2x^3 + x^2 — 8x — 7$

Шаг 1. Область определения функции

Функция является многочленом третьей степени. Многочлены определены при любых значениях переменной.
Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$

Шаг 2. Четность и нечетность функции

Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение функции:

$$y(-x) = 2(-x)^3 + (-x)^2 — 8(-x) — 7 = -2x^3 + x^2 + 8x — 7$$

Сравним с исходной функцией:

• $y(-x) \ne y(x)$ — функция нечетная.
• $y(-x) \ne -y(x)$ — функция нечетная.

Вывод: Функция не является ни четной, ни нечетной.

Шаг 3. Асимптоты

Функция является многочленом, у которого нет ни вертикальных, ни горизонтальных, ни наклонных асимптот.

Вывод: Асимптоты отсутствуют.

Шаг 4. Исследование на экстремумы и промежутки монотонности

Найдем первую производную:

$$y'(x) = (2x^3)’ + (x^2)’ — (8x)’ — (7)’ = 6x^2 + 2x — 8$$

Решим уравнение $y'(x) = 0$:

$$6x^2 + 2x — 8 = 0 \Rightarrow \text{разделим обе части на } 2:$$ $$3x^2 + x — 4 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$$

Промежутки:

• На интервале $(-\infty; -\frac{4}{3})$ производная положительна, функция возрастает.
• На интервале $(-\frac{4}{3}; 1)$ производная отрицательна, функция убывает.
• На интервале $(1; +\infty)$ производная положительна, функция возрастает.

Вывод:

• При $x = -\frac{4}{3}$ — точка максимума.
• При $x = 1$ — точка минимума.

Шаг 5. Значения функции в точках экстремума

Вычислим $y$ при $x = 1$:

$$y(1) = 2 \cdot 1^3 + 1^2 — 8 \cdot 1 — 7 = 2 + 1 — 8 — 7 = -12$$

Вычислим $y$ при $x = -\frac{4}{3}$:

$$y\left(-\frac{4}{3}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)^3 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 — 8 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) — 7$$

Рассчитаем каждое слагаемое:

• $\left(-\frac{4}{3}\right)^3 = -\frac{64}{27}$, тогда $2 \cdot \left(-\frac{64}{27}\right) = -\frac{128}{27}$
• $\left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$
• $-8 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{32}{3}$

Теперь сложим все:

$$y = -\frac{128}{27} + \frac{16}{9} + \frac{32}{3} — 7$$

Приведем к общему знаменателю и получим:

$$y = \frac{19}{27}$$

Вывод:

• Максимум: $x = -\frac{4}{3}, y = \frac{19}{27}$
• Минимум: $x = 1, y = -12$

Шаг 6. Промежутки возрастания и убывания

• Функция возрастает на интервале $(-\infty; -\frac{4}{3}] \cup [1; +\infty)$
• Функция убывает на интервале $[-\frac{4}{3}; 1]$

Шаг 7. Таблица значений

Шаг 8. Описание графика функции

График функции представляет собой гладкую непрерывную кривую кубического типа, имеющую характерную «волнообразную» форму.

• Слева функция возрастает до точки $x = -\frac{4}{3}$, где достигается локальный максимум.
• Затем график убывает до точки $x = 1$, где достигается локальный минимум.
• После точки $x = 1$ функция снова возрастает.
• При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$.
• При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.
• Пересекает ось $y$ в точке $y = -7$.
• Пересекает ось $x$, но координаты нулей функции можно найти отдельно при необходимости.

б) Функция:
$y = -\dfrac{x^3}{3} + x^2 + 3x — \dfrac{11}{3}$

Шаг 1. Область определения функции

Функция является многочленом третьей степени (все слагаемые полиномиальные), а коэффициенты дробные.
Тем не менее, функция определена при всех значениях переменной $x$.
Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$

Шаг 2. Четность / нечетность функции

Подставим $-x$ вместо $x$:

$$y(-x) = -\frac{(-x)^3}{3} + (-x)^2 + 3(-x) — \frac{11}{3}$$

Упростим:

$$y(-x) = \frac{x^3}{3} + x^2 — 3x — \frac{11}{3}$$

Это выражение не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.
Вывод: Функция не является ни четной, ни нечетной.

Шаг 3. Асимптоты

Функция является многочленом. Асимптоты отсутствуют.
Вывод: Асимптоты отсутствуют.

Шаг 4. Исследование на экстремумы и монотонность

Находим первую производную:

$$y'(x) = \left(-\frac{1}{3}x^3\right)’ + (x^2)’ + (3x)’ = -x^2 + 2x + 3$$

Решим неравенство:

$$y'(x) \geq 0 \Rightarrow -x^2 + 2x + 3 \geq 0 \Rightarrow x^2 — 2x — 3 \leq 0$$

Решим квадратное неравенство:

$$x^2 — 2x — 3 = 0 \Rightarrow D = (-2)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16$$

Корни:

$$x_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = 3$$

Знак выражения $(x + 1)(x — 3) \leq 0$ отрицателен между корнями, то есть:

Функция возрастает на промежутке $[-1; 3]$
Функция убывает на промежутках $(-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$

Шаг 5. Точки экстремума и их значения

Минимум при $x = -1$:

$$y = -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) — \frac{11}{3} = \frac{1}{3} + 1 — 3 — \frac{11}{3} = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3}$$

Максимум при $x = 3$:

$$y = -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3 — \frac{11}{3} = -9 + 9 + 9 — \frac{11}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$$

Шаг 6. Таблица значений функции в нескольких точках

Шаг 7. Описание графика функции

График представляет собой кривую третьей степени.

• Форма графика напоминает перевернутую S-образную кривую.
• На отрезке от $x = -1$ до $x = 3$ функция монотонно возрастает.
• В точке $x = -1$ достигается минимум $y = -5 \frac{1}{3}$.
• В точке $x = 3$ достигается максимум $y = 5 \frac{1}{3}$.
• На концах графика (при $x \to -\infty$ и $x \to +\infty$) функция убывает.

в) Функция:
$y = x^3 + x^2 — x — 1$

Шаг 1. Область определения

Функция является многочленом третьей степени. Определена на всей числовой прямой.
Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$

Шаг 2. Четность и нечетность

Подставим $-x$:

$$y(-x) = (-x)^3 + (-x)^2 — (-x) — 1 = -x^3 + x^2 + x — 1$$

Так как $y(-x) \ne y(x)$ и $y(-x) \ne -y(x)$, функция ни четная, ни нечетная.

Шаг 3. Асимптоты

Функция — многочлен. Асимптоты отсутствуют.

Шаг 4. Производная

$$y'(x) = 3x^2 + 2x — 1$$

Найдем критические точки:

$$3x^2 + 2x — 1 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 + 12 = 16$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-2 — 4}{6} = -1, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}$$

Знаки производной:

• При $x < -1$ и $x > \frac{1}{3}$: производная положительна ⇒ функция возрастает
• При $x \in (-1; \frac{1}{3})$: производная отрицательна ⇒ функция убывает

Шаг 5. Значения функции в точках экстремума

Максимум при $x = -1$:

$$y = (-1)^3 + (-1)^2 — (-1) — 1 = -1 + 1 + 1 — 1 = 0$$

Минимум при $x = \frac{1}{3}$:

$$y = \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 — \frac{1}{3} — 1 = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} — \frac{1}{3} — 1$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{1 + 3 — 9 — 27}{27} = -\frac{32}{27} = -1 \frac{5}{27}$$

Шаг 6. Таблица значений

Шаг 7. Описание графика функции

График представляет собой типичную кубическую кривую:

• Возрастает на интервале $(-\infty; -1] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$
• Убывает на интервале $[-1; \frac{1}{3}]$
• Вершина графика в точке $x = -1$, $y = 0$
• Минимум в точке $x = \frac{1}{3}$, $y \approx -1{,}185$
• График непрерывно уходит в обе стороны.

г) Функция:
$y = \frac{x^3}{3} + x^2 — 3x + \frac{5}{3}$

Шаг 1. Область определения

Функция является многочленом с дробными коэффициентами. Она определена при всех $x$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$

Шаг 2. Четность / нечетность

$$y(-x) = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x + \frac{5}{3} \Rightarrow y(-x) \ne y(x), \quad y(-x) \ne -y(x)$$

Вывод: функция нечетная и нечетная не является.

Шаг 3. Асимптоты

Функция — многочлен. Асимптоты отсутствуют.

Шаг 4. Производная

$$y'(x) = (x^3 / 3)’ + (x^2)’ — (3x)’ = x^2 + 2x — 3$$

Решим уравнение:

$$x^2 + 2x — 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3, \quad x_2 = 1$$

Исследуем знаки производной:

• Производная положительна на $(-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$
• Отрицательна на $(-3; 1)$

Шаг 5. Значения в экстремумах

Максимум при $x = -3$:

$$y = \frac{-27}{3} + 9 + 9 + \frac{5}{3} = -9 + 9 + 9 + \frac{5}{3} = 9 + \frac{5}{3} = 10 \frac{2}{3}$$

Минимум при $x = 1$:

$$y = \frac{1}{3} + 1 — 3 + \frac{5}{3} = \frac{1 + 3 + 5}{3} — 3 = \frac{9}{3} — 3 = 0$$

Шаг 6. Таблица значений

Шаг 7. Описание графика функции

• Функция возрастает на интервале $(-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$
• Функция убывает на интервале $[-3; 1]$
• Максимум в точке $x = -3$, $y = 10 \frac{2}{3}$
• Минимум в точке $x = 1$, $y = 0$
• График плавно переходит от убывания к возрастанию
• Кривая имеет S-образную форму