ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х³ — 9х² + 15x — 3 на отрезке:

а) [0; 2];

б) [3; 6];

в) [-1; 3];

г) [2; 7].

Дана функция:

$$y = x^3 — 9x^2 + 15x — 3$$

Найти наибольшее и наименьшее значения функции.

Производная функции:

$$y'(x) = (x^3)’ — 9(x^2)’ + (15x — 3)’ = 3x^2 — 9 \cdot 2x + 15 = 3x^2 — 18x + 15$$

Стационарные точки:

$$3x^2 — 18x + 15 = 0$$ $$x^2 — 6x + 5 = 0$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

Тогда:

$$x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

а) На отрезке $[0; 2]$:

$$y(0) = 0^3 — 9 \cdot 0^2 + 15 \cdot 0 — 3 = -3$$ $$y(1) = 1^3 — 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 — 3 = 1 — 9 + 15 — 3 = 4$$ $$y(2) = 2^3 — 9 \cdot 2^2 + 15 \cdot 2 — 3 = 8 — 36 + 30 — 3 = -1$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -3; \quad y_{\text{наиб}} = 4$$

б) На отрезке $[3; 6]$:

$$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 15 \cdot 3 — 3 = 27 — 81 + 45 — 3 = -12$$ $$y(5) = 5^3 — 9 \cdot 5^2 + 15 \cdot 5 — 3 = 125 — 225 + 75 — 3 = -28$$ $$y(6) = 6^3 — 9 \cdot 6^2 + 15 \cdot 6 — 3 = 216 — 324 + 90 — 3 = -21$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -28; \quad y_{\text{наиб}} = -12$$

в) На отрезке $[-1; 3]$:

$$y(-1) = (-1)^3 — 9 \cdot (-1)^2 + 15 \cdot (-1) — 3 = -1 — 9 — 15 — 3 = -28$$ $$y(1) = 1^3 — 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 — 3 = 1 — 9 + 15 — 3 = 4$$ $$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 15 \cdot 3 — 3 = 27 — 81 + 45 — 3 = -12$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -28; \quad y_{\text{наиб}} = 4$$

г) На отрезке $[2; 7]$:

$$y(2) = 2^3 — 9 \cdot 2^2 + 15 \cdot 2 — 3 = 8 — 36 + 30 — 3 = -1$$ $$y(5) = 5^3 — 9 \cdot 5^2 + 15 \cdot 5 — 3 = 125 — 225 + 75 — 3 = -28$$ $$y(7) = 7^3 — 9 \cdot 7^2 + 15 \cdot 7 — 3 = 343 — 441 + 105 — 3 = 4$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -28; \quad y_{\text{наиб}} = 4$$

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $$$y = x^3 — 9x^2 + 15x — 3$ на разных отрезках.

Шаг 1: Найдём производную функции

Дана функция:

$$y = x^3 — 9x^2 + 15x — 3$$

Продифференцируем функцию по стандартным правилам:

• Производная $(x^3)’ = 3x^2$
• Производная $(-9x^2)’ = -18x$
• Производная $(15x)’ = 15$
• Производная $(-3)’ = 0$

Значит:

$$y'(x) = 3x^2 — 18x + 15$$

Шаг 2: Найдём критические точки

Найдём стационарные точки — приравниваем производную к нулю:

$$3x^2 — 18x + 15 = 0$$

Разделим уравнение на 3:

$$x^2 — 6x + 5 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

Находим дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

Корни:

$$x_1 = \frac{6 — \sqrt{16}}{2} = \frac{6 — 4}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Таким образом, критические точки: $x = 1$ и $x = 5$

а) На отрезке $[0; 2]$

Критическая точка $x = 1$ лежит внутри отрезка. Проверим значения функции в:

• левом конце: $x = 0$
• критической точке: $x = 1$
• правом конце: $x = 2$

Вычислим значения:

$$y(0) = 0^3 — 9 \cdot 0^2 + 15 \cdot 0 — 3 = -3$$ $$y(1) = 1^3 — 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 — 3 = 1 — 9 + 15 — 3 = 4$$ $$y(2) = 8 — 36 + 30 — 3 = -1$$

Ответ:

• Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = -3$ при $x = 0$
• Наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = 4$ при $x = 1$

б) На отрезке $[3; 6]$

Критическая точка $x = 5$ лежит внутри отрезка.
Проверим значения в:

• $x = 3$
• $x = 5$
• $x = 6$

Вычисления:

$$y(3) = 27 — 81 + 45 — 3 = -12$$ $$y(5) = 125 — 225 + 75 — 3 = -28$$ $$y(6) = 216 — 324 + 90 — 3 = -21$$

Ответ:

• Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = -28$ при $x = 5$
• Наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = -12$ при $x = 3$

в) На отрезке $[-1; 3]$

Критическая точка $x = 1$ попадает в отрезок.
Проверим значения в:

• $x = -1$
• $x = 1$
• $x = 3$

Вычисления:

$$y(-1) = (-1)^3 — 9 \cdot (-1)^2 + 15 \cdot (-1) — 3 = -1 — 9 — 15 — 3 = -28$$ $$y(1) = 1 — 9 + 15 — 3 = 4$$ $$y(3) = 27 — 81 + 45 — 3 = -12$$

Ответ:

• Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = -28$ при $x = -1$
• Наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = 4$ при $x = 1$

г) На отрезке $[2; 7]$

Критическая точка $x = 5$ входит в отрезок.
Проверим значения в:

• $x = 2$
• $x = 5$
• $x = 7$

Вычисления:

$$y(2) = 8 — 36 + 30 — 3 = -1$$ $$y(5) = 125 — 225 + 75 — 3 = -28$$ $$y(7) = 343 — 441 + 105 — 3 = 4$$

Ответ:

• Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = -28$ при $x = 5$
• Наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = 4$ при $x = 7$