ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=x^4-8x^3+10x^2+1$ на отрезке:

а) [-1; 2];

б) [1; 6];

в) [-2; 3];

г) [-1; 7]

Дана функция: $y = x^4 — 8x^3 + 10x^2 + 1$;
Найти наибольшее и наименьшее значения функции;

Производная функции:
$y'(x) = (x^4)’ — 8(x^3)’ + 10(x^2)’ + (1)’$;
$y'(x) = 4x^3 — 8 \cdot 3x^2 + 10 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 24x^2 + 20x$;

Стационарные точки:
$4x^3 — 24x^2 + 20x = 0$;
$4x(x^2 — 6x + 5) = 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$, тогда:
$x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5, \quad x_3 = 0$;

а) На отрезке $[-1; 2]$:
$y(-1) = (-1)^4 — 8 \cdot (-1)^3 + 10 \cdot (-1)^2 + 1 = 1 + 8 + 10 + 1 = 20$;
$y(0) = 0^4 — 8 \cdot 0^3 + 10 \cdot 0^2 + 1 = 1$;
$y(1) = 1^4 — 8 \cdot 1^3 + 10 \cdot 1^2 + 1 = 1 — 8 + 10 + 1 = 4$;
$y(2) = 2^4 — 8 \cdot 2^3 + 10 \cdot 2^2 + 1 = 16 — 64 + 40 + 1 = -7$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = -7$; $y_{\text{наиб}} = 20$.

б) На отрезке $[1; 6]$:
$y(1) = 1^4 — 8 \cdot 1^3 + 10 \cdot 1^2 + 1 = 1 — 8 + 10 + 1 = 4$;
$y(5) = 5^4 — 8 \cdot 5^3 + 10 \cdot 5^2 + 1 = 625 — 1000 + 250 + 1 = -124$;
$y(6) = 6^4 — 8 \cdot 6^3 + 10 \cdot 6^2 + 1 = 1296 — 1728 + 360 + 1 = -71$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = -124$; $y_{\text{наиб}} = 4$.

в) На отрезке $[-2; 3]$:
$y(-2) = (-2)^4 — 8 \cdot (-2)^3 + 10 \cdot (-2)^2 + 1 = 16 + 64 + 40 + 1 = 121$;
$y(0) = 0^4 — 8 \cdot 0^3 + 10 \cdot 0^2 + 1 = 1$;
$y(1) = 1^4 — 8 \cdot 1^3 + 10 \cdot 1^2 + 1 = 1 — 8 + 10 + 1 = 4$;
$y(3) = 3^4 — 8 \cdot 3^3 + 10 \cdot 3^2 + 1 = 81 — 216 + 90 + 1 = -44$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = -44$; $y_{\text{наиб}} = 121$.

г) На отрезке $[-1; 7]$:
$y(-1) = (-1)^4 — 8 \cdot (-1)^3 + 10 \cdot (-1)^2 + 1 = 1 + 8 + 10 + 1 = 20$;
$y(0) = 0^4 — 8 \cdot 0^3 + 10 \cdot 0^2 + 1 = 1$;
$y(1) = 1^4 — 8 \cdot 1^3 + 10 \cdot 1^2 + 1 = 1 — 8 + 10 + 1 = 4$;
$y(5) = 5^4 — 8 \cdot 5^3 + 10 \cdot 5^2 + 1 = 625 — 1000 + 250 + 1 = -124$;
$y(7) = 7^4 — 8 \cdot 7^3 + 10 \cdot 7^2 + 1 = 2401 — 2744 + 490 + 1 = 148$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = -124$; $y_{\text{наиб}} = 148$.

Рассмотрим функцию:

$$y = x^4 — 8x^3 + 10x^2 + 1$$

Шаг 1: Найдём производную

$$y'(x) = (x^4)’ — 8(x^3)’ + 10(x^2)’ + (1)’ = 4x^3 — 24x^2 + 20x$$

Производную можно упростить:

$$y'(x) = 4x(x^2 — 6x + 5)$$

Шаг 2: Найдём стационарные точки

Для этого приравниваем производную к нулю:

$$4x(x^2 — 6x + 5) = 0$$

Решим уравнение:

• Первый корень: $x = 0$
• Второе уравнение: $x^2 — 6x + 5 = 0 \Rightarrow x = 1$ и $x = 5$

Стационарные точки:

$$x = 0,\quad x = 1,\quad x = 5$$

Шаг 3: Рассмотрим значение функции на разных отрезках

а) На отрезке $[-1; 2]$:

Проверим значения функции в концах отрезка и в стационарных точках, лежащих внутри отрезка: $x = 0$, $x = 1$

$$y(-1) = (-1)^4 — 8(-1)^3 + 10(-1)^2 + 1 = 1 + 8 + 10 + 1 = 20$$ $$y(0) = 0^4 — 0 + 0 + 1 = 1$$ $$y(1) = 1 — 8 + 10 + 1 = 4$$ $$y(2) = 16 — 64 + 40 + 1 = -7$$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -7$, $y_{\text{наиб}} = 20$

б) На отрезке $[1; 6]$:

Стационарные точки в отрезке: $x = 1$, $x = 5$

$$y(1) = 1 — 8 + 10 + 1 = 4$$ $$y(5) = 625 — 1000 + 250 + 1 = -124$$ $$y(6) = 1296 — 1728 + 360 + 1 = -71$$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -124$, $y_{\text{наиб}} = 4$

в) На отрезке $[-2; 3]$:

Стационарные точки: $x = 0$, $x = 1$

$$y(-2) = 16 + 64 + 40 + 1 = 121$$ $$y(0) = 1$$ $$y(1) = 4$$ $$y(3) = 81 — 216 + 90 + 1 = -44$$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -44$, $y_{\text{наиб}} = 121$

г) На отрезке $[-1; 7]$:

Стационарные точки: $x = 0$, $x = 1$, $x = 5$

$$y(-1) = 20$$ $$y(0) = 1$$ $$y(1) = 4$$ $$y(5) = -124$$ $$y(7) = 2401 — 2744 + 490 + 1 = 148$$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -124$, $y_{\text{наиб}} = 148$