ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти область значений функции:

$$y = x^3 — 3x^2 — 9x + \sqrt{16 — x^4} + \left| \sqrt{16 — x^4} — 5 \right|;$$

Выражение под знаком модуля:

$$\sqrt{16 — x^4} — 5 \geq 0; \\ \sqrt{16 — x^4} \geq 5; \\ 16 — x^4 \geq 25; \\ x^4 \leq -9; \\ x \in \varnothing;$$

Преобразуем функцию:

$$y = x^3 — 3x^2 — 9x + \sqrt{16 — x^4} — \left( \sqrt{16 — x^4} — 5 \right); \\ y = x^3 — 3x^2 — 9x + 5;$$

Производная функции:

$$y'(x) = (x^3)’ — 3(x^2)’ + (-9x + 5)’; \\ y'(x) = 3x^2 — 3 \cdot 2x — 9 = 3x^2 — 6x — 9;$$

Промежуток возрастания:

$$\begin{gathered} 3x^2-6x-9\ge 0; \\ {x}^2-2x-3\ge 0; \\ D=2^2+4\cdot 3=4+12=16, \end{gathered}$$

$$3x^2 — 6x — 9 \geq 0; \\ x^2 — 2x — 3 \geq 0; \\ D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:} \\ x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \text{ и } x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3; \\ (x + 1)(x — 3) \geq 0; \\ x \leq -1 \text{ или } x \geq 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$16 — x^4 \geq 0; \\ x^4 — 16 \leq 0; \\ x^2 — 4 \leq 0; \\ (x + 2)(x — 2) \leq 0; \\ -2 \leq x \leq 2;$$

Значения функции:

$$y(-2)=(-2{)}^3-3\cdot (-2{)}^2-9\cdot (-2)+5=-8-12+18+5=3;$$

$$y(-1)=(-1{)}^3-3\cdot (-1{)}^2-9\cdot (-1)+5=-1-3+9+5=10;$$

$$y(-2) = (-2)^3 — 3 \cdot (-2)^2 — 9 \cdot (-2) + 5 = -8 — 12 + 18 + 5 = 3; \\ y(-1) = (-1)^3 — 3 \cdot (-1)^2 — 9 \cdot (-1) + 5 = -1 — 3 + 9 + 5 = 10; \\ y(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 — 9 \cdot 2 + 5 = 8 — 12 — 18 + 5 = -17;$$

Ответ: $E(y) = [-17; 10]$.

Нам нужно найти область значений функции:

$$y = x^3 — 3x^2 — 9x + \sqrt{16 — x^4} + \left| \sqrt{16 — x^4} — 5 \right|$$

Шаг 1. Анализ выражения под знаком модуля

Выражение под модулем — это $\sqrt{16 — x^4} — 5$. Для того чтобы понять, как оно ведет себя, сначала рассмотрим неравенство, которое появляется из этого выражения:

$$\sqrt{16 — x^4} — 5 \geq 0$$

Это неравенство говорит о том, что $\sqrt{16 — x^4} \geq 5$, то есть подкоренное выражение должно быть не меньше 25. Далее рассмотрим это неравенство:

$$\sqrt{16 — x^4} \geq 5 \quad \Rightarrow \quad 16 — x^4 \geq 25$$

Приводим это к простому виду:

$$-x^4 \geq 9 \quad \Rightarrow \quad x^4 \leq -9$$

Но это неравенство невозможно выполнить, потому что $x^4 \geq 0$ для всех значений $x$. Следовательно, такого значения $x$, при котором $\sqrt{16 — x^4} — 5 \geq 0$, не существует. То есть:

$$\sqrt{16 — x^4} — 5 \geq 0 \quad \text{не имеет решений}.$$

Следствие: Модуль не влияет на выражение, и мы можем просто избавиться от знака модуля, преобразовав функцию.

Шаг 2. Преобразование функции

Теперь, когда мы исключили модуль, функция принимает следующий вид:

$$y = x^3 — 3x^2 — 9x + \sqrt{16 — x^4} — \left( \sqrt{16 — x^4} — 5 \right)$$

Упрощаем выражение:

$$y = x^3 — 3x^2 — 9x + \sqrt{16 — x^4} — \sqrt{16 — x^4} + 5$$

Видим, что $\sqrt{16 — x^4}$ и $-\sqrt{16 — x^4}$ взаимно уничтожаются, и остается:

$$y = x^3 — 3x^2 — 9x + 5$$

Таким образом, наша функция принимает вид:

$$y = x^3 — 3x^2 — 9x + 5$$

Шаг 3. Нахождение производной функции

Чтобы исследовать поведение функции, найдем её производную. Для этого применим стандартные правила дифференцирования:

$$y'(x) = (x^3)’ — 3(x^2)’ — 9(x)’ + 5′$$

Где:

• Производная от $x^3$ — это $3x^2$,
• Производная от $3x^2$ — это $6x$,
• Производная от $-9x$ — это $-9$,
• Производная от константы $5$ — это 0.

Таким образом, производная функции:

$$y'(x) = 3x^2 — 6x — 9$$

Шаг 4. Нахождение промежутков возрастания и убывания

Для того чтобы исследовать, на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает, приравняем производную к нулю:

$$3x^2 — 6x — 9 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Для начала разделим обе части на 3:

$$x^2 — 2x — 3 = 0$$

Дискриминант для этого уравнения вычисляется по формуле:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Теперь раскроем скобки для неравенства:

$$(x + 1)(x — 3) \geq 0$$

Это неравенство выполняется, если $x \leq -1$ или $x \geq 3$. То есть, функция возрастает на интервале $(-\infty, -1]$ и $[3, \infty)$.

Шаг 5. Выражение имеет смысл при:

Для того чтобы функция имела смысл, выражение $\sqrt{16 — x^4}$ должно быть определено, а это означает, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть:

$$16 — x^4 \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$x^4 \leq 16$$

Теперь извлекаем корень из обеих сторон:

$$x^2 \leq 4$$

И еще раз извлекаем корень:

$$|x| \leq 2$$

Таким образом, выражение $\sqrt{16 — x^4}$ имеет смысл при:

$$-2 \leq x \leq 2$$

Это ограничение накладывается на область определения функции.

Шаг 6. Нахождение значений функции в крайних точках интервала

Теперь вычислим значения функции $y = x^3 — 3x^2 — 9x + 5$ в крайних точках интервала, а также в некоторых других точках, чтобы найти минимальные и максимальные значения функции.

6.1. Значение функции в точке $x = -2$

Подставим $x = -2$ в выражение для функции:

$$y(-2) = (-2)^3 — 3(-2)^2 — 9(-2) + 5$$ $$y(-2) = -8 — 12 + 18 + 5 = 3$$

6.2. Значение функции в точке $x = -1$

Подставим $x = -1$ в выражение для функции:

$$y(-1) = (-1)^3 — 3(-1)^2 — 9(-1) + 5$$ $$y(-1) = -1 — 3 + 9 + 5 = 10$$

6.3. Значение функции в точке $x = 2$

Подставим $x = 2$ в выражение для функции:

$$y(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 — 9 \cdot 2 + 5$$ $$y(2) = 8 — 12 — 18 + 5 = -17$$

Шаг 7. Область значений функции

Из найденных значений функции можно сделать вывод, что на интервале $[-2, 2]$ значения функции принимают следующие значения:

• Минимальное значение функции: $y(2) = -17$,
• Максимальное значение функции: $y(-1) = 10$.

Таким образом, область значений функции:

$$E(y) = [-17, 10]$$

Ответ: $E(y) = [-17, 10]$.