ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y = 2 \sin x, \quad \left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$;

Производная функции:
$y'(x) = 2(\sin x)’ = 2 \cos x$;

Стационарные точки:
$2 \cos x = 0$;
$\cos x = 0$;
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Значения функции:
$y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -2 \sin\frac{\pi}{2} = -2$;
$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin\frac{\pi}{2} = 2$;
$y(\pi) = 2 \sin \pi = 2 \cdot 0 = 0$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2; \, y_{\text{наиб}} = 2$.

б) $y = -2 \cos x, \quad \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$;

Производная функции:
$y'(x) = -2(\cos x)’ = -2 \cdot (-\sin x) = 2 \sin x$;

Стационарные точки:
$2 \sin x = 0$;
$\sin x = 0$;
$x = \pi n$;

Значения функции:
$y(-2\pi) = -2 \cos(-2\pi) = -2 \cos 2\pi = -2$;
$y(-\pi) = -2 \cos(-\pi) = -2 \cos \pi = 2$;
$y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -2 \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -2 \cos\frac{\pi}{2} = -2 \cdot 0 = 0$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2; \, y_{\text{наиб}} = 2$.

в) $y = 6 \cos x, \quad \left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$;

Производная функции:
$y'(x) = 6(\cos x)’ = 6 \cdot (-\sin x) = -6 \sin x$;

Стационарные точки:
$-6 \sin x = 0$;
$\sin x = 0$;
$x = \pi n$;

Значения функции:
$y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 6 \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 6 \cos\frac{\pi}{2} = 6 \cdot 0 = 0$;
$y(0) = 6 \cos 0 = 6$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0; \, y_{\text{наиб}} = 6$.

г) $y = -0,5 \sin x, \quad \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;

Производная функции:
$y'(x) = -0,5(\sin x)’ = -0,5 \cos x$;

Стационарные точки:
$-0,5 \cos x = 0$;
$\cos x = 0$;
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Значения функции:
$y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -0,5 \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0,5 \sin\frac{\pi}{2} = 0,5$;
$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -0,5 \sin\frac{\pi}{2} = -0,5$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -0,5; \, y_{\text{наиб}} = 0,5$.

а) $y = 2\sin x$, отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}; \pi \right]$

1. Найдём производную:

$$y'(x) = \frac{d}{dx} (2\sin x) = 2 \cdot \cos x$$

2. Найдём критические точки:

$$2\cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x = 0$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Выбираем те $x$, которые принадлежат отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \pi \right]$:

• $n = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} \in \left[-\frac{\pi}{2}; \pi \right]$
• $n = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} \in \left[-\frac{\pi}{2}; \pi \right]$

3. Значения функции:

• $y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -2$
• $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2$
• $y(\pi) = 2 \sin(\pi) = 0$

Ответ: $$$y_{\text{наим}} = -2; \quad y_{\text{наиб}} = 2$

б) $y = -2\cos x$, отрезок $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$

1. Производная:

$$y'(x) = -2 \cdot (\cos x)’ = -2 \cdot (-\sin x) = 2 \sin x$$

2. Критические точки:

$$2\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$$

Ищем $x = \pi n$ на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$:

• $n = -2 \Rightarrow x = -2\pi$
• $n = -1 \Rightarrow x = -\pi$

3. Значения функции:

• $y(-2\pi) = -2 \cos(-2\pi) = -2 \cdot 1 = -2$
• $y(-\pi) = -2 \cos(-\pi) = -2 \cdot (-1) = 2$
• $y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -2 \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$

Ответ: ${}_{}$$y_{\text{наим}} = -2; \quad y_{\text{наиб}} = 2$

в) $y = 6 \cos x$, отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}; 0 \right]$

1. Производная:

$$y'(x) = 6 \cdot (\cos x)’ = 6 \cdot (-\sin x) = -6 \sin x$$

2. Критические точки:

$$-6 \sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$$

Проверяем на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0 \right]$:

• $n = 0 \Rightarrow x = 0$

3. Значения функции:

• $y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 6 \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$
• $y(0) = 6 \cos(0) = 6$

Ответ: ${}_{}$$y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = 6$

г) $y = -0{,}5 \sin x$, отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$

1. Производная:

$$y'(x) = -0{,}5 \cdot (\sin x)’ = -0{,}5 \cos x$$

2. Критические точки:

$$-0{,}5 \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Из них на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$ находится:

• $n = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$

3. Значения функции:

• $y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -0{,}5 \cdot \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0{,}5$
• $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -0{,}5 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -0{,}5$

Ответ: $$$y_{\text{наим}}=-\mathrm{0,5};y_{\text{наиб}}=\mathrm{0,5}$