ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

Пусть $x, y$ — данные положительные числа, тогда:
$y + x = 3;$
$y = 3 — x;$

Заданная функция:
$f(x) = 3y + x^3 = 3(3 — x) + x^3 = 9 — 3x + x^3;$

Производная функции:
$f'(x) = (9 — 3x)’ + (x^3)’ = -3 + 3x^2;$

Промежуток возрастания:
$-3 + 3x^2 \geq 0;$
$x^2 — 1 \geq 0;$
$(x + 1)(x — 1) \geq 0;$
$x \leq -1$ или $x \geq 1;$

Точка минимума:
$x_{\min} = 1;$
$y = 3 — 1 = 2;$

Ответ: $3 = 2 + 1$.

Шаг 1. Обозначения и выражения

Пусть $x$ и $y$ — два положительных числа, такие что:

$$x + y = 3$$

Нам нужно найти такие значения $x$ и $y$, при которых функция:

$$f(x, y) = 3x + y^3$$

принимает наименьшее значение. Это выражение соответствует требованию, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

Шаг 2. Выражение второго слагаемого через первое

Из условия $x + y = 3$ можно выразить одно из чисел через другое. Например, выразим $y$ через $x$:

$$y = 3 — x$$

Теперь подставим это выражение для $y$ в нашу целевую функцию $f(x, y)$:

$$f(x) = 3x + (3 — x)^3$$

Теперь задача сводится к минимизации функции:

$$f(x) = 3x + (3 — x)^3$$

Шаг 3. Раскрытие куба

Раскроем куб в выражении для $f(x)$:

$$(3 — x)^3 = 27 — 27x + 9x^2 — x^3$$

Теперь подставим это в выражение для $f(x)$:

$$f(x) = 3x + 27 — 27x + 9x^2 — x^3$$

Упростим выражение:

$$f(x) = -x^3 + 9x^2 — 24x + 27$$

Теперь у нас есть функция, которую нужно минимизировать:

$$f(x) = -x^3 + 9x^2 — 24x + 27$$

Шаг 4. Нахождение производной функции

Для нахождения экстремумов функции $f(x)$ вычислим её производную:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left( -x^3 + 9x^2 — 24x + 27 \right)$$

Применяем стандартные правила дифференцирования:

$$f'(x) = -3x^2 + 18x — 24$$

Шаг 5. Нахождение критических точек

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$-3x^2 + 18x — 24 = 0$$

Разделим обе части уравнения на $-3$, чтобы упростить:

$$x^2 — 6x + 8 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Для этого вычислим дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{6 — \sqrt{4}}{2} = \frac{6 — 2}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$$

Таким образом, мы получили два критических значения: $x = 2$ и $x = 4$.

Шаг 6. Проверка, является ли точка минимумом

Для того чтобы проверить, какая из найденных точек соответствует минимуму, посчитаем вторую производную функции $f(x)$:

$$f»(x) = \frac{d}{dx} \left( -3x^2 + 18x — 24 \right) = -6x + 18$$

Теперь проверим вторую производную в точках $x = 2$ и $x = 4$.

В точке $x = 2$:

$$f»(2) = -6 \cdot 2 + 18 = -12 + 18 = 6$$

Так как $f»(2) > 0$, то в точке $x = 2$ функция имеет минимум.

В точке $x = 4$:

$$f»(4) = -6 \cdot 4 + 18 = -24 + 18 = -6$$

Так как $f»(4) < 0$, то в точке $x = 4$ функция имеет максимум.

Следовательно, точка минимума — это $x = 2$.

Шаг 7. Нахождение значения $y$

Так как $x + y = 3$, то при $x = 2$ значение $y$ будет:

$$y = 3 — x = 3 — 2 = 1$$

Таким образом, минимальные значения чисел $x$ и $y$ — это $x = 2$ и $y = 1$.

Шаг 8. Проверка минимального значения функции

Подставим $x = 2$ и $y = 1$ в исходную функцию $f(x, y) = 3x + y^3$:

$$f(2) = 3 \cdot 2 + 1^3 = 6 + 1 = 7$$

Таким образом, минимальное значение функции $f(x, y)$ равно 7.

Ответ

Числа, которые минимизируют сумму утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого при условии, что их сумма равна 3, это $x = 2$ и $y = 1$.

Ответ: 2 и 1.