ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y = \tg x,\ \left[-\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{6}\right];$

Производная функции:
$y'(x) = (\tg x)’ = \frac{1}{\cos^2 x} > 0;$

Выражение имеет смысл при:
$x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n;$

Значения функции:
$y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \tg\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\tg\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3};$
$y\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \tg\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\tg\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3};$

Ответ: $$$y_{\text{наим}} = -\sqrt{3};\ y_{\text{наиб}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$

б) $y = -3\,\tg x,\ \left[\pi; \frac{4\pi}{3}\right];$

Производная функции:
$y'(x) = -3(\tg x)’ = -3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} < 0;$

Выражение имеет смысл при:
$x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n;$

Значения функции:
$y(\pi) = -3\,\tg\,\pi = -3 \cdot 0 = 0;$
$y\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -3\,\tg\frac{4\pi}{3} = -3\,\tg\frac{\pi}{3} = -3\sqrt{3};$

Ответ: ${}_{}$$y_{\text{наим}} = -3\sqrt{3};\ y_{\text{наиб}} = 0.$

в) $y = -2\,\tg x,\ \left[0; \frac{\pi}{6}\right];$

Производная функции:
$y'(x) = -2(\tg x)’ = -2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} < 0;$

Выражение имеет смысл при:
$x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n;$

Значения функции:
$y(0) = -2\,\tg\,0 = -2 \cdot 0 = 0;$
$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = -2\,\tg\frac{\pi}{6} = -\frac{2\sqrt{3}}{3};$

Ответ: $$$y_{\text{наим}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3};\ y_{\text{наиб}} = 0.$

г) $y = \frac{1}{2}\,\tg x,\ \left[-\pi; -\frac{3\pi}{4}\right];$

Производная функции:
$y'(x) = \frac{1}{2}(\tg x)’ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} > 0;$

Выражение имеет смысл при:
$x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n;$

Значения функции:
$y(-\pi) = \frac{1}{2}\tg(-\pi) = -\frac{1}{2}\tg\,\pi = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0;$
$y\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\tg\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\tg\left(-\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\tg\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5;$

Ответ: ${}_{}$$y_{\text{наим}} = 0;\ y_{\text{наиб}} = 0.5.$

а) $y = \tg x$, отрезок $\left[-\dfrac{\pi}{3}; -\dfrac{\pi}{6}\right]$

1. Область определения:

Функция $\tg x$ не определена при:

$$x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

На отрезке $\left[-\dfrac{\pi}{3}; -\dfrac{\pi}{6}\right]$ таких точек нет, так как:

$$\dfrac{\pi}{2} \approx 1.57,\quad -\dfrac{\pi}{3} \approx -1.05,\quad -\dfrac{\pi}{6} \approx -0.52$$

Следовательно, функция определена на всём отрезке.

2. Производная:

$$y'(x) = \dfrac{d}{dx}(\tg x) = \dfrac{1}{\cos^2 x}$$

На всём допустимом интервале $\cos x \ne 0$, значит:

$$y'(x) > 0$$

Функция возрастает на всём отрезке.

3. Значения функции на концах отрезка:

$$y\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \tg\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\tg\dfrac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$$ $$y\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \tg\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\tg\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$

4. Вывод:

• Функция возрастает
• Наименьшее значение в начале отрезка
• Наибольшее значение в конце

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -\sqrt{3}, \quad y_{\text{наиб}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$

б) $y = -3\tg x$, отрезок $\left[\pi; \dfrac{4\pi}{3} \right]$

1. Область определения:

$$\tg x \text{ не определена при } x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$$

Проверим отрезок:

• $\dfrac{3\pi}{2} = \pi + \dfrac{\pi}{2} \approx 4.71$
• $\pi = 3.14$, $\dfrac{4\pi}{3} \approx 4.19$

Следовательно, $\dfrac{3\pi}{2} \notin \left[\pi; \dfrac{4\pi}{3} \right]$

Функция определена на всём отрезке.

2. Производная:

$$y'(x) = -3 \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x} = -\dfrac{3}{\cos^2 x} < 0$$

Так как знаменатель положителен, производная отрицательна ⇒ функция убывает на всём отрезке.

3. Значения функции:

$$y(\pi) = -3 \cdot \tg(\pi) = -3 \cdot 0 = 0$$ $$y\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -3 \cdot \tg\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)$$

Поскольку:

$$\tg\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = \tg\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = \tg\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$$ $$\Rightarrow y = -3\sqrt{3}$$

4. Вывод:

• Функция убывает
• Наименьшее значение в конце отрезка
• Наибольшее — в начале

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -3\sqrt{3}, \quad y_{\text{наиб}} = 0$$

в) $y = -2\tg x$, отрезок $\left[0; \dfrac{\pi}{6} \right]$

1. Область определения:

$$\tg x \text{ не определена при } x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$$

• $0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{6} \approx 0.52$
• $\dfrac{\pi}{2} \approx 1.57 \notin \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right]$

Функция определена на всём отрезке.

2. Производная:

$$y'(x) = -2 \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x} = -\dfrac{2}{\cos^2 x} < 0$$

Функция убывает.

3. Значения функции:

$$y(0) = -2 \cdot \tg(0) = -2 \cdot 0 = 0$$ $$y\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -2 \cdot \tg\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$$

4. Вывод:

• Наименьшее значение в правом конце
• Наибольшее — в левом

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}, \quad y_{\text{наиб}} = 0$$

г) $y = \dfrac{1}{2}\tg x$, отрезок $\left[-\pi; -\dfrac{3\pi}{4} \right]$

1. Область определения:

$$\tg x \text{ не определена при } x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$$

Проверим:

• $\dfrac{\pi}{2} \approx 1.57$, отрезок: от $-3.14$ до $-2.36$
• Ни одной точки разрыва на отрезке нет

Функция определена на всём отрезке.

2. Производная:

$$y'(x) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x} > 0$$

Функция возрастает.

3. Значения функции:

$$y(-\pi) = \dfrac{1}{2}\tg(-\pi) = \dfrac{1}{2} \cdot 0 = 0$$ $$y\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}\tg\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)$$

Используем:

$$\tg\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\tg\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -(-1) = 1$$ $$\Rightarrow y = \dfrac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$$

4. Вывод:

• Функция возрастает
• Наименьшее значение — в начале
• Наибольшее — в конце

Ответ:

$$y_{\text{наим}}=0,y_{\text{наиб}}=0.5$$