ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.34 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Для перевозки груза требуется изготовить закрытый короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относились бы как 2 : 3, а объём составлял 576 м³. Каковы должны быть измерения параллелепипеда, чтобы его полная поверхность была наименьшей?

Пусть $a, b, c$ — измерения параллелепипеда, тогда:
$b = \frac{2}{3}c$;
$V = abc = a \cdot \frac{2}{3}c \cdot c = \frac{2ac^2}{3} = 576$;
$a = 576 \cdot \frac{3}{2c^2} = \frac{864}{c^2}$;

Площадь полной поверхности короба:
$S(c) = 2ab + 2bc + 2ac$;
$S(c) = 2 \cdot \frac{864}{c^2} \cdot \frac{2}{3}c + 2 \cdot \frac{2}{3}c \cdot c + 2 \cdot \frac{864}{c^2} \cdot c$;
$S(c) = \frac{1\,152}{c} + \frac{4}{3}c^2 + \frac{1\,728}{c} = \frac{2\,880}{c} + \frac{4}{3}c^2$;

Производная функции:
$S'(c) = 2\,880 \left( \frac{1}{c} \right)^2 + \frac{4}{3}(c^2)’ = 2\,880 \cdot \left( -\frac{1}{c^2} \right) + \frac{4}{3} \cdot 2c$;
$S'(c) = \frac{8c}{3} — \frac{2\,880}{c^2} = \frac{8c^3 — 8\,640}{3c^2}$;

Промежуток возрастания:
$8c^3 — 8\,640 \geq 0$;
$c^3 — 1\,080 \geq 0$;
$c^3 \geq 1\,080$;
$c \geq \sqrt[3]{1\,080}$;

Точка минимума:
$c_{min} = \sqrt[3]{1\,080} = 6\sqrt[3]{5}$;
$a = \frac{864}{6^2 \cdot \sqrt[3]{5^2}} = \frac{864\sqrt[3]{5}}{36 \cdot 5} = \frac{24\sqrt[3]{5}}{5}$;
$b = \frac{2 \cdot 6\sqrt[3]{5}}{3} = 4\sqrt[3]{5}$;

Ответ: $4\sqrt[3]{5}$ м; $\frac{24\sqrt[3]{5}}{5}$ м; $6\sqrt[3]{5}$ м.

Рассмотрим параллелепипед с измерениями $a$, $b$, и $c$. Дано, что:

• $b = \frac{2}{3}c$
• Объем параллелепипеда $V = abc = 576$

Нужно найти площадь полной поверхности и минимизировать её, а также найти соответствующие размеры $a$, $b$, и $c$ для минимальной площади.

1) Выражение для площади полной поверхности

Площадь полной поверхности параллелепипеда выражается через формулу:

$$S(c) = 2ab + 2bc + 2ac$$

Подставим выражения для $a$ и $b$ через $c$ из условия задачи:

• $b = \frac{2}{3}c$
• $a = \frac{864}{c^2}$, что мы получили из формулы для объема $V = 576$.

Тогда:

$$S(c) = 2 \cdot \frac{864}{c^2} \cdot \frac{2}{3}c + 2 \cdot \frac{2}{3}c \cdot c + 2 \cdot \frac{864}{c^2} \cdot c$$

Упростим каждое слагаемое:

• $2 \cdot \frac{864}{c^2} \cdot \frac{2}{3}c = \frac{1\,152}{c}$
• $2 \cdot \frac{2}{3}c \cdot c = \frac{4}{3}c^2$
• $2 \cdot \frac{864}{c^2} \cdot c = \frac{1\,728}{c}$

Таким образом:

$$S(c) = \frac{1\,152}{c} + \frac{4}{3}c^2 + \frac{1\,728}{c}$$

Соберем подобные слагаемые:

$$S(c) = \frac{2\,880}{c} + \frac{4}{3}c^2$$

Это выражение для площади полной поверхности параллелепипеда через $c$.

2) Производная функции площади

Чтобы найти экстремумы функции площади $S(c)$, вычислим её производную:

$$S'(c) = \frac{d}{dc} \left( \frac{2\,880}{c} + \frac{4}{3}c^2 \right)$$

Применяем правила дифференцирования:

$$S'(c) = -\frac{2\,880}{c^2} + \frac{4}{3} \cdot 2c = -\frac{2\,880}{c^2} + \frac{8}{3}c$$

Таким образом, производная функции площади:

$$S'(c) = \frac{8c^3 — 8\,640}{3c^2}$$

3) Промежуток возрастания функции

Найдем, при каких значениях $c$ функция $S(c)$ возрастает или убывает. Для этого решим неравенство $S'(c) \geq 0$:

$$8c^3 — 8\,640 \geq 0$$ $$c^3 \geq 1\,080$$ $$c \geq \sqrt[3]{1\,080}$$

Таким образом, функция будет возрастать при $c \geq \sqrt[3]{1\,080}$.

4) Точка минимума

Теперь найдем значение $c$, при котором площадь будет минимальной, то есть точку минимума. Это будет когда производная равна нулю:

$$8c^3 — 8\,640 = 0$$ $$c^3 = 1\,080$$ $$c = \sqrt[3]{1\,080}$$

Теперь вычислим это значение численно:

$$c \approx 6\sqrt[3]{5}$$

Теперь, зная $c$, можно найти $a$ и $b$.

• $a = \frac{864}{c^2} = \frac{864}{(6\sqrt[3]{5})^2} = \frac{864}{36 \cdot \sqrt[3]{5^2}} = \frac{24\sqrt[3]{5}}{5}$
• $b = \frac{2}{3}c = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt[3]{5} = 4\sqrt[3]{5}$

Ответ

• $a = \frac{24\sqrt[3]{5}}{5}$ м
• $b = 4\sqrt[3]{5}$ м
• $c = 6\sqrt[3]{5}$ м