ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.36 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?

Пусть $x$ — длина второго основания и $h$ — высота трапеции;

Известно, что трапеция является равнобокой, значит:

$$15^2 = \left( \frac{x — 15}{2} \right)^2 + h^2;$$ $$h^2 = 15^2 — \left( \frac{x — 15}{2} \right)^2 = \left( 15 — \frac{x — 15}{2} \right)\left( 15 + \frac{x — 15}{2} \right) = \frac{45 — x}{2} \cdot \frac{15 + x}{2};$$

Площадь данной трапеции:

$$S(x) = \frac{1}{2} \cdot (x + 15) \cdot h = \frac{15 + x}{2} \cdot \sqrt{ \frac{45 — x}{2} \cdot \frac{15 + x}{2} } = \sqrt{ \frac{(45 — x)(15 + x)^3}{4} };$$ $$S(x) = \frac{1}{2} \sqrt{(45 — x)(15 + x)^3} = \frac{1}{2} \sqrt{t(x)}, \text{ где } t(x) = (45 — x)(15 + x)^3;$$

Производные функций:

$$S'(t) = \frac{1}{2} (\sqrt{t})’ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = \frac{1}{4\sqrt{t}} > 0;$$ $$t'(x) = (45 — x) \cdot (15 + x)^3 + (45 — x) \cdot (15 + x)^3;$$ $$t'(x) = -1 \cdot (15 + x)^3 + (45 — x) \cdot 1 \cdot 3(15 + x)^2;$$ $$t'(x) = (15 + x)^2 \cdot (3(45 — x) — (15 + x)) = (15 + x)^2 \cdot (120 — 4x);$$

Промежуток возрастания:

$$(15 + x)^2 \cdot (120 — 4x) \geq 0;$$ $$120 — 4x \geq 0;$$ $$4x \leq 120;$$ $$x \leq 30;$$

Точка максимума:

$$x_{\max} = 30;$$

Ответ: 30 см.

Шаг 1: Исходные данные

Пусть:

• $x$ — длина второго основания трапеции,
• $h$ — высота трапеции.

Дано, что трапеция равнобокая, т.е. боковые стороны равны между собой. Обозначим длину боковой стороны трапеции как 15 см.

Шаг 2: Уравнение для высоты трапеции

В равнобокой трапеции мы можем рассматривать прямоугольный треугольник, который образуется одной из боковых сторон и отрезком, соединяющим середины оснований. Этот отрезок имеет длину $\frac{x — 15}{2}$ (половина разности длин оснований).

Согласно теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника, где $15$ — гипотенуза, а $\frac{x — 15}{2}$ и $h$ — катеты, получаем:

$$15^2 = \left( \frac{x — 15}{2} \right)^2 + h^2$$

Приводим уравнение к виду для $h^2$:

$$h^2 = 15^2 — \left( \frac{x — 15}{2} \right)^2$$

Раскроем скобки:

$$h^2 = 225 — \left( \frac{x — 15}{2} \right)^2$$

Применим формулу разности квадратов для выражения $\left( 15 — \frac{x — 15}{2} \right)\left( 15 + \frac{x — 15}{2} \right)$, так как это разность квадратов двух чисел:

$$h^2 = \left( 15 — \frac{x — 15}{2} \right) \left( 15 + \frac{x — 15}{2} \right)$$

В результате, выражение для $h^2$ принимает вид:

$$h^2 = \frac{45 — x}{2} \cdot \frac{15 + x}{2}$$

Таким образом, мы получили выражение для $h^2$.

Шаг 3: Площадь трапеции

Площадь трапеции можно выразить через длины её оснований $x$ и 15, а также её высоту $h$ по формуле:

$$S(x) = \frac{1}{2} \cdot (x + 15) \cdot h$$

Подставим найденное выражение для $h$ из предыдущего шага:

$$S(x) = \frac{15 + x}{2} \cdot \sqrt{ \frac{45 — x}{2} \cdot \frac{15 + x}{2} }$$

Это выражение можно упростить, чтобы получить более удобное для анализа:

$$S(x) = \sqrt{ \frac{(45 — x)(15 + x)^3}{4} }$$

Тем самым, площадь трапеции $S(x)$ выражается через корень, и её вычисление требует расчёта значения внутри подкоренного выражения.

Шаг 4: Введем дополнительную переменную

Для упрощения дальнейших вычислений введём новую переменную $t(x)$, которая будет представлять выражение внутри квадратного корня:

$$t(x) = (45 — x)(15 + x)^3$$

Теперь можем переписать площадь как:

$$S(x) = \frac{1}{2} \sqrt{t(x)}$$

Где $t(x) = (45 — x)(15 + x)^3$ — это функция, зависящая от $x$, которая будет полезна при нахождении производной и анализа её поведения.

Шаг 5: Нахождение производной площади

Для того чтобы найти точку максимума площади, необходимо взять производную функции площади $S(x)$.

Сначала найдем производную от $S(x)$ по $x$. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$$S'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t(x)}} \cdot t'(x) = \frac{1}{4\sqrt{t(x)}} \cdot t'(x)$$

Так как площадь должна быть максимальной, то эта производная должна быть равна нулю, т.е. $S'(x) = 0$. Однако, прежде чем приравнивать производную к нулю, необходимо вычислить производную функции $t(x)$.

Шаг 6: Нахождение производной $t(x)$

Теперь найдём производную функции $t(x)$:

$$t(x) = (45 — x)(15 + x)^3$$

Используем правило дифференцирования произведения:

$$t'(x) = \frac{d}{dx} \left[ (45 — x) \cdot (15 + x)^3 \right]$$

Применим правило произведения:

$$t'(x) = (45 — x)’ \cdot (15 + x)^3 + (45 — x) \cdot \left( (15 + x)^3 \right)’$$

Первое слагаемое:

$$(45 — x)’ = -1$$

Второе слагаемое:

$$\left( (15 + x)^3 \right)’ = 3(15 + x)^2$$

Подставляем в производную:

$$t'(x) = — (15 + x)^3 + (45 — x) \cdot 3(15 + x)^2$$

Теперь факторизуем выражение:

$$t'(x) = (15 + x)^2 \cdot \left( 3(45 — x) — (15 + x) \right)$$

Упростим выражение внутри скобок:

$$3(45 — x) — (15 + x) = 120 — 3x — 15 — x = 120 — 4x$$

Таким образом, производная $t'(x)$ принимает вид:

$$t'(x) = (15 + x)^2 \cdot (120 — 4x)$$

Шаг 7: Промежуток возрастания

Чтобы понять, на каком промежутке функция площади возрастает, рассмотрим знак производной $t'(x)$.

Для этого необходимо решить неравенство $t'(x) \geq 0$. Мы знаем, что $(15 + x)^2 \geq 0$, так как это квадрат, и он всегда неотрицателен. Следовательно, знак производной зависит от знака выражения $120 — 4x$:

$$120 — 4x \geq 0$$

Решаем это неравенство:

$$4x \leq 120$$ $$x \leq 30$$

Таким образом, функция площади возрастает на интервале $x \leq 30$.

Шаг 8: Точка максимума

Точка максимума площади будет достигаться, когда $x = 30$. Это связано с тем, что при увеличении $x$ выше 30, производная станет отрицательной, что означает уменьшение площади.

Ответ:

Максимальная площадь трапеции будет достигаться при $x = 30$ см.

Ответ: $30$ см.