ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.39 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошёл человек. Верхняя точка памятника находится выше уровня глаз человека на а м, а верхняя точка постамента — на b м. На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Пусть $x$ — искомое расстояние между человеком и статуей, отрезок $AB$ — сама статуя и точка $C$ — глаза человека;

Отобразим условие задачи:

Опустим перпендикуляр $CH$ на прямую $AB$, тогда:

$$CH = x,\; AH = a \text{ и } BH = b;$$ $$\tg \angle BCH = \frac{BH}{CH} = \frac{b}{x};$$ $$\tg \angle ACH = \frac{AH}{CH} = \frac{a}{x};$$

Пусть тангенс угла $\angle ACB$ равен $z$, тогда:

$$\tg \angle ACH = \tg(\angle ACB + \angle BCH) = \frac{\tg \angle ACB + \tg \angle BCH}{1 — \tg \angle ACH \cdot \tg \angle BCH};$$ $$\mathrm{tg}\mathrm{\angle }ACH=\frac{z+\frac{b}{x}}{1-z\cdot \frac{b}{x}}=\frac{b+zx}{x(1-\frac{zb}{x})}=\frac{b+zx}{x-zb}$$

Получим уравнение:

$$\frac{b + zx}{x — zb} = \frac{a}{x};$$ $$x(b + zx) = a(x — zb);$$ $$xb + zx^2 = ax — azb;$$ $$zx^2 + azb = ax — xb;$$ $$z(x^2 + ab) = x(a — b);$$ $$z = \frac{x(a — b)}{x^2 + ab};$$

Производная функции:

$$z'(x) = \frac{(a — b)(x)'(x^2 + ab) — x(a — b)(x^2 + ab)’}{(x^2 + ab)^2};$$ $$z'(x) = \frac{(a — b)(x^2 + ab) — x(a — b)\cdot 2x}{(x^2 + ab)^2};$$ $$z'(x) = \frac{(a — b)(x^2 + ab — 2x^2)}{(x^2 + ab)^2} = \frac{(a — b)(ab — x^2)}{(x^2 + ab)^2};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{(a — b)(ab — x^2)}{(x^2 + ab)^2} \geq 0;$$ $$ab — x^2 \geq 0;$$ $$ab \geq x^2;$$ $$-\sqrt{ab} \leq x \leq \sqrt{ab};$$

Точка максимума:

$$x_{max} = \sqrt{ab};$$

Ответ: $\sqrt{ab}$.

Памятник состоит из двух частей:

• Постамент, верхняя точка которого находится на высоте b метров над уровнем глаз человека.
• Статуя, стоящая на постаменте, её верхняя точка — на высоте a метров над уровнем глаз человека.

Человек стоит на расстоянии x метров от основания памятника.

Требуется: найти значение x, при котором угол зрения на статую будет наибольшим.

Шаг 1. Математическая модель

Обозначим:

• Точка A — верх статуи (высота $a$),
• Точка B — верх постамента (высота $b$),
• Точка O — глаза наблюдателя (на высоте 0).

Человек смотрит:

• вверх на точку A под углом $\alpha = \tg^{-1}\left(\dfrac{a}{x}\right)$,
• вверх на точку B под углом $\beta = \tg^{-1}\left(\dfrac{b}{x}\right)$.

Искомый угол:

$$\theta(x) = \alpha — \beta = \tg^{-1}\left(\dfrac{a}{x}\right) — \tg^{-1}\left(\dfrac{b}{x}\right)$$

Шаг 2. Найдём максимум функции

Найдём производную функции $\theta(x)$ по $x$ и приравняем её к нулю.

$$\theta(x) = \tg^{-1}\left(\dfrac{a}{x}\right) — \tg^{-1}\left(\dfrac{b}{x}\right)$$

Используем формулу производной:

$$\frac{d}{dx} \tg^{-1}\left(\frac{c}{x}\right) = \frac{-c}{x^2 + c^2}$$

Тогда производная:

$$\theta'(x) = \frac{-a}{x^2 + a^2} + \frac{b}{x^2 + b^2}$$

Приравниваем к нулю:

$$\frac{-a}{x^2 + a^2} + \frac{b}{x^2 + b^2} = 0$$ $$\frac{b}{x^2 + b^2} = \frac{a}{x^2 + a^2}$$

Шаг 3. Решим уравнение

Умножим обе части на знаменатели:

$$b(x^2 + a^2) = a(x^2 + b^2)$$

Раскрываем скобки:

$$bx^2 + ba^2 = ax^2 + ab^2$$

Переносим все в одну сторону:

$$bx^2 — ax^2 = ab^2 — ba^2 \Rightarrow (b — a)x^2 = ab(b — a)$$

Если $a \ne b$, можно сократить на $b — a$:

$$x^2 = ab \Rightarrow x = \sqrt{ab}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \sqrt{ab}}$$

Человек должен стоять на расстоянии $\sqrt{ab}$ метров от памятника, чтобы видеть статую под наибольшим углом.

Пример:

Если:

• верх статуи: $a = 6$ м,
• верх постамента: $b = 2$ м,

Тогда:

$$x = \sqrt{6 \cdot 2} = \sqrt{12} \approx 3{,}46 \text{ м}$$

Заключение:

Мы выразили угол видимости через разность арктангенсов, взяли производную, нашли точку экстремума и убедились, что максимальный угол достигается при расстоянии:

$$x = \sqrt{ab}$$