ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y = \sqrt{x},\ [0; 9];$

Производная функции:
$y'(x) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0;$

Значения функции:
$y(0) = \sqrt{0} = 0;$
$y(9) = \sqrt{9} = 3;$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = 0; \ y_{\text{наиб}} = 3.$

б) $y = \sqrt{-x},\ [-4; 0];$

Производная функции:
$y'(x) = (\sqrt{-x})’ = -1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{-x}} = -\frac{1}{2\sqrt{-x}} < 0;$

Значения функции:
$y(-4) = \sqrt{-(-4)} = \sqrt{4} = 2;$
$y(0) = \sqrt{-0} = \sqrt{0} = 0;$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = 0; \ y_{\text{наиб}} = 2.$

в) $y = -\sqrt{x},\ [4; 16];$

Производная функции:
$y'(x) = -(\sqrt{x})’ = -\frac{1}{2\sqrt{x}} < 0;$

Значения функции:
$y(4) = -\sqrt{4} = -2;$
$y(16) = -\sqrt{16} = -4;$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -4; \ y_{\text{наиб}} = -2.$

г) $y = -\sqrt{-x},\ [-9; -4];$

Производная функции:
$y'(x) = -(\sqrt{-x})’ = -\left(-1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{-x}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{-x}} > 0;$

Значения функции:
$y(-9) = -\sqrt{-(-9)} = -\sqrt{9} = -3;$
$y(-4) = -\sqrt{-(-4)} = -\sqrt{4} = -2;$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -3; \ y_{\text{наиб}} = -2.$

а) $y = \sqrt{x}$, отрезок $[0; 9]$

Область определения функции:

Функция $\sqrt{x}$ определена при $x \geq 0$.
Так как $[0; 9] \subseteq [0; +\infty)$, функция определена на всём отрезке.

Производная:

$$y'(x) = \left(\sqrt{x}\right)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Производная положительна при $x > 0$, следовательно, функция возрастает на отрезке $[0; 9]$.

Значения функции на концах отрезка:

$$y(0) = \sqrt{0} = 0, \quad y(9) = \sqrt{9} = 3$$

Вывод:

Минимум на левом конце отрезка: $y_{\text{наим}} = 0$
Максимум на правом конце: $y_{\text{наиб}} = 3$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = 3$

б) $y = \sqrt{-x}$, отрезок $[-4; 0]$

Область определения функции:

Функция $\sqrt{-x}$ определена при $x \leq 0$.
Отрезок $[-4; 0] \subseteq (-\infty; 0]$, функция определена на всём отрезке.

Производная:

$$y(x) = \sqrt{-x} \Rightarrow y'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{-x}}$$

Производная отрицательна на всём интервале $(-4; 0)$, следовательно, функция убывает.

Значения функции:

$$y(-4) = \sqrt{4} = 2, \quad y(0) = \sqrt{0} = 0$$

Вывод:

Максимум на левом конце отрезка: $y_{\text{наиб}} = 2$
Минимум на правом конце: $y_{\text{наим}} = 0$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = 2$

в) $y = -\sqrt{x}$, отрезок $[4; 16]$

Область определения функции:

Функция $\sqrt{x}$ определена при $x \geq 0$, а значит $-\sqrt{x}$ также определена при $x \geq 0$.
Отрезок $[4; 16] \subseteq [0; +\infty)$, функция определена.

Производная:

$$y'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}} < 0$$

Производная отрицательна ⇒ функция убывает.

Значения функции:

$$y(4) = -\sqrt{4} = -2, \quad y(16) = -\sqrt{16} = -4$$

Вывод:

Максимум при $x = 4$: $y_{\text{наиб}} = -2$
Минимум при $x = 16$: $y_{\text{наим}} = -4$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -4; \quad y_{\text{наиб}} = -2$

г) $y = -\sqrt{-x}$, отрезок $[-9; -4]$

Область определения функции:

Функция $\sqrt{-x}$ определена при $x \leq 0$
Отрезок $[-9; -4] \subseteq (-\infty; 0]$, функция определена.

Производная:

$$y(x) = -\sqrt{-x} \Rightarrow y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{-x}} > 0$$

Производная положительна ⇒ функция возрастает.

Значения функции:

$$y(-9) = -\sqrt{9} = -3, \quad y(-4) = -\sqrt{4} = -2$$

Вывод:

Минимум при $x = -9$: $y_{\text{наим}} = -3$
Максимум при $x = -4$: $y_{\text{наиб}} = -2$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -3; \quad y_{\text{наиб}} = -2$

Итоговые ответы:

а) $y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = 3$
б) $y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = 2$
в) $y_{\text{наим}} = -4; \quad y_{\text{наиб}} = -2$
г) $y_{\text{наим}} = -3; \quad y_{\text{наиб}} = -2$