ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y = 12x^4, \ [-1; 2]$;
Производная функции:
$y'(x) = 12(x^4)’ = 12 \cdot 4x^3 = 48x^3$;
Стационарные точки:
$48x^3 = 0$;
$x^3 = 0$;
$x = 0$;
Значения функции:
$y(-1) = 12 \cdot (-1)^4 = 12$;
$y(0) = 12 \cdot 0^4 = 0$;
$y(2) = 12 \cdot 2^4 = 12 \cdot 16 = 192$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 0; \ y_{\text{наиб}} = 192$.

б) $y = -6x^5, \ [0,1; 2]$;
Производная функции:
$y'(x) = -6(x^5)’ = -6 \cdot 5x^4 = -30x^4 \leq 0$;
Значения функции:
$y(0,1) = -6 \cdot (0,1)^5 = -0,00006$;
$y(2) = -6 \cdot 2^5 = -6 \cdot 32 = -192$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = -192; \ y_{\text{наиб}} = -0,00006$.

в) $y = -3x^7, \ [0; 1]$;
Производная функции:
$y'(x) = -3(x^7)’ = -3 \cdot 7x^6 = -21x^6 \leq 0$;
Значения функции:
$y(0) = -3 \cdot 0^7 = 0$;
$y(1) = -3 \cdot 1^7 = -3$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = -3; \ y_{\text{наиб}} = 0$.

г) $y = \frac{1}{9}x^4, \ [-1; 3]$;
Производная функции:
$y'(x) = \frac{1}{9}(x^4)’ = \frac{1}{9} \cdot 4x^3 = \frac{4}{9}x^3$;
Стационарные точки:
$\frac{4}{9}x^3 = 0$;
$x^3 = 0$;
$x = 0$;
Значения функции:
$y(-1) = \frac{1}{9} \cdot (-1)^4 = \frac{1}{9}$;
$y(0) = \frac{1}{9} \cdot 0^4 = 0$;
$y(3) = \frac{1}{9} \cdot 3^4 = \frac{1}{9} \cdot 81 = 9$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 0; \ y_{\text{наиб}} = 9$.

а) $y = 12x^4$, отрезок $[-1; 2]$

1. Область определения:

Функция $y = 12x^4$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$.
Отрезок $[-1; 2] \subset \mathbb{R}$, значит, функция определена на всём отрезке.

2. Производная:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(12x^4) = 12 \cdot \frac{d}{dx}(x^4) = 12 \cdot 4x^3 = 48x^3$$

3. Стационарные точки:

Найдём, где $y'(x) = 0$:

$$48x^3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$$

$x = 0 \in [-1; 2]$ — подходит.

4. Значения функции в концах и в стационарной точке:

$$y(-1) = 12 \cdot (-1)^4 = 12 \cdot 1 = 12$$ $$y(0) = 12 \cdot 0^4 = 0$$ $$y(2) = 12 \cdot 2^4 = 12 \cdot 16 = 192$$

5. Вывод:

Наименьшее значение — при $x = 0$: $y = 0$
Наибольшее значение — при $x = 2$: $y = 192$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = 192$

б) $y = -6x^5$, отрезок $[0{,}1; 2]$

1. Область определения:

Функция $y = -6x^5$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$
Отрезок $[0{,}1; 2] \subset \mathbb{R}$ — всё корректно.

2. Производная:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(-6x^5) = -6 \cdot 5x^4 = -30x^4$$

Так как $x^4 \geq 0$, то $y'(x) \leq 0$ на всём отрезке
⇒ функция убывает на $[0{,}1; 2]$

3. Значения функции на концах:

$$y(0{,}1) = -6 \cdot (0{,}1)^5 = -6 \cdot 0{,}00001 = -0{,}00006$$ $$y(2) = -6 \cdot 2^5 = -6 \cdot 32 = -192$$

4. Вывод:

Максимум — при $x = 0{,}1$: $y = -0{,}00006$
Минимум — при $x = 2$: $y = -192$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -192; \quad y_{\text{наиб}} = -0{,}00006$

в) $y = -3x^7$, отрезок $[0; 1]$

1. Область определения:

Функция $y = -3x^7$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$
Отрезок $[0; 1] \subset \mathbb{R}$, всё корректно.

2. Производная:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(-3x^7) = -3 \cdot 7x^6 = -21x^6$$

Поскольку $x^6 \geq 0$, то $y'(x) \leq 0$
⇒ функция убывает на всём отрезке

3. Значения функции:

$$y(0) = -3 \cdot 0^7 = 0$$ $$y(1) = -3 \cdot 1^7 = -3$$

4. Вывод:

Максимум при $x = 0$: $y = 0$
Минимум при $x = 1$: $y = -3$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -3; \quad y_{\text{наиб}} = 0$

г) $y = \dfrac{1}{9}x^4$, отрезок $[-1; 3]$

1. Область определения:

Функция $y = \dfrac{1}{9}x^4$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$
Отрезок $[-1; 3] \subset \mathbb{R}$, всё корректно.

2. Производная:

$$y'(x) = \frac{1}{9} \cdot \frac{d}{dx}(x^4) = \frac{1}{9} \cdot 4x^3 = \frac{4}{9}x^3$$

3. Стационарные точки:

Найдем, где $y'(x) = 0$:

$$\frac{4}{9}x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$$

$x = 0 \in [-1; 3]$ — подходит.

4. Значения функции:

$$y(-1) = \frac{1}{9} \cdot (-1)^4 = \frac{1}{9}$$ $$y(0) = \frac{1}{9} \cdot 0^4 = 0$$ $$y(3) = \frac{1}{9} \cdot 3^4 = \frac{1}{9} \cdot 81 = 9$$

5. Вывод:

Минимум при $x = 0$: $y = 0$
Максимум при $x = 3$: $y = 9$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = 9$

Итоговые ответы:

а) $y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = 192$
б) $y_{\text{наим}} = -192; \quad y_{\text{наиб}} = -0{,}00006$
в) $y_{\text{наим}} = -3; \quad y_{\text{наиб}} = 0$
г) $y_{\text{наим}}=0;y_{\text{наиб}}=9$