ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х³ — 9х² + 24x — 1 на отрезке:

а) [-1; 3];

б) [3; 6];

в) [-2; 3];

г) [3; 5].

Дана функция: $y = x^3 — 9x^2 + 24x — 1$;
Найти наибольшее и наименьшее значения функции;

Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ — 9(x^2)’ + (24x — 1)’$;
$y'(x) = 3x^2 — 9 \cdot 2x + 24 = 3x^2 — 18x + 24$;

Стационарные точки:
$3x^2 — 18x + 24 = 0$;
$x^2 — 6x + 8 = 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$, тогда:
$x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$;

а) На отрезке $[-1; 3]$:
$y(-1) = (-1)^3 — 9 \cdot (-1)^2 + 24 \cdot (-1) — 1 = -1 — 9 — 24 — 1 = -35$;
$y(2) = 2^3 — 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 — 1 = 8 — 36 + 48 — 1 = 19$;
$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 — 1 = 27 — 81 + 72 — 1 = 17$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = -35$; $y_{\text{наиб}} = 19$

б) На отрезке $[3; 6]$:
$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 — 1 = 27 — 81 + 72 — 1 = 17$;
$y(4) = 4^3 — 9 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 — 1 = 64 — 144 + 96 — 1 = 15$;
$y(6) = 6^3 — 9 \cdot 6^2 + 24 \cdot 6 — 1 = 216 — 324 + 144 — 1 = 35$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 15$; $y_{\text{наиб}} = 35$

в) На отрезке $[-2; 3]$:
$y(-2) = (-2)^3 — 9 \cdot (-2)^2 + 24 \cdot (-2) — 1 = -8 — 36 — 48 — 1 = -93$;
$y(2) = 2^3 — 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 — 1 = 8 — 36 + 48 — 1 = 19$;
$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 — 1 = 27 — 81 + 72 — 1 = 17$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = -93$; $y_{\text{наиб}} = 19$

г) На отрезке $[3; 5]$:
$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 — 1 = 27 — 81 + 72 — 1 = 17$;
$y(4) = 4^3 — 9 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 — 1 = 64 — 144 + 96 — 1 = 15$;
$y(5) = 5^3 — 9 \cdot 5^2 + 24 \cdot 5 — 1 = 125 — 225 + 120 — 1 = 19$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 15$; $y_{\text{наиб}} = 19$

Дана функция:

$$y = x^3 — 9x^2 + 24x — 1$$

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на разных отрезках.

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция:

$$y(x) = x^3 — 9x^2 + 24x — 1$$

Найдём производную:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) — 9\frac{d}{dx}(x^2) + 24\frac{d}{dx}(x) — \frac{d}{dx}(1)$$ $$y'(x) = 3x^2 — 18x + 24$$

Шаг 2: Найдём стационарные точки

Решим уравнение:

$$y'(x) = 0$$ $$3x^2 — 18x + 24 = 0$$

Разделим на 3:

$$x^2 — 6x + 8 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{6 — \sqrt{4}}{2} = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$$

Стационарные точки:

$$x = 2 \quad \text{и} \quad x = 4$$

а) Отрезок $[-1; 3]$

Из стационарных точек на этом отрезке лежит только $x = 2$.

Подставим в исходную функцию:

$$y(-1) = (-1)^3 — 9(-1)^2 + 24(-1) — 1 = -1 — 9 — 24 — 1 = -35$$ $$y(2) = 2^3 — 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 — 1 = 8 — 36 + 48 — 1 = 19$$ $$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 — 1 = 27 — 81 + 72 — 1 = 17$$

Наименьшее значение: $-35$ при $x = -1$
Наибольшее значение: $19$ при $x = 2$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -35$, $y_{\text{наиб}} = 19$

б) Отрезок $[3; 6]$

Из стационарных точек на этом отрезке лежит только $x = 4$.

Вычислим значения функции:

$$y(3) = 27 — 81 + 72 — 1 = 17$$ $$y(4) = 64 — 144 + 96 — 1 = 15$$ $$y(6) = 216 — 324 + 144 — 1 = 35$$

Наименьшее значение: $15$ при $x = 4$
Наибольшее значение: $35$ при $x = 6$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = 15$, $y_{\text{наиб}} = 35$

в) Отрезок $[-2; 3]$

Из стационарных точек входит только $x = 2$.

Вычислим значения функции:

$$y(-2) = (-2)^3 — 9(-2)^2 + 24(-2) — 1 = -8 — 36 — 48 — 1 = -93$$ $$y(2) = 8 — 36 + 48 — 1 = 19$$ $$y(3) = 27 — 81 + 72 — 1 = 17$$

Наименьшее значение: $-93$ при $x = -2$
Наибольшее значение: $19$ при $x = 2$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -93$, $y_{\text{наиб}} = 19$

г) Отрезок $[3; 5]$

Из стационарных точек входит только $x = 4$.

Вычислим значения функции:

$$y(3) = 27 — 81 + 72 — 1 = 17$$ $$y(4) = 64 — 144 + 96 — 1 = 15$$ $$y(5) = 125 — 225 + 120 — 1 = 19$$

Наименьшее значение: $15$ при $x = 4$
Наибольшее значение: $19$ при $x = 5$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = 15$, $y_{\text{наиб}} = 19$