ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х³ + 3х² — 45х — 2 на отрезке:

а) [-6; 0];

б) [1; 2];

в) [-6; -1];

г) [0; 2].

Дана функция:
$y = x^3 + 3x^2 — 45x — 2$
Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Производная функции:

$$y'(x) = (x^3)’ + 3(x^2)’ + (-45x — 2)’ = 3x^2 + 6x — 45$$

Стационарные точки:

$$3x^2 + 6x — 45 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x — 15 = 0$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64$$ $$x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$$

а) На отрезке $[-6; 0]$:

$$y(-6) = (-6)^3 + 3 \cdot (-6)^2 — 45 \cdot (-6) — 2 = -216 + 108 + 270 — 2 = 160$$ $$y(-5) = (-5)^3 + 3 \cdot (-5)^2 — 45 \cdot (-5) — 2 = -125 + 75 + 225 — 2 = 173$$ $$y(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 — 45 \cdot 0 — 2 = -2$$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -2$,
$y_{\text{наиб}} = 173$

б) На отрезке $[1; 2]$:

$$y(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 — 45 \cdot 1 — 2 = 1 + 3 — 45 — 2 = -43$$ $$y(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 — 45 \cdot 2 — 2 = 8 + 12 — 90 — 2 = -72$$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -72$,
$y_{\text{наиб}} = -43$

в) На отрезке $[-6; -1]$:

$$y(-6) = -216 + 108 + 270 — 2 = 160$$ $$y(-5) = -125 + 75 + 225 — 2 = 173$$ $$y(-1) = (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 — 45 \cdot (-1) — 2 = -1 + 3 + 45 — 2 = 45$$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = 45$,
$y_{\text{наиб}} = 173$

г) На отрезке $[0; 2]$:

$$y(0) = -2$$ $$y(2) = 8 + 12 — 90 — 2 = -72$$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -72$,
$y_{\text{наиб}} = -2$

Дана функция:

$$y = x^3 + 3x^2 — 45x — 2$$

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанных отрезках.

Шаг 1: Найдём производную функции

$$y(x) = x^3 + 3x^2 — 45x — 2$$

Продифференцируем по правилу суммы и степенной функции:

$$y'(x) = (x^3)’ + 3(x^2)’ + (-45x)’ + (-2)’ = 3x^2 + 6x — 45$$

Шаг 2: Найдём критические (стационарные) точки

Решаем уравнение:

$$3x^2 + 6x — 45 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 3:

$$x^2 + 2x — 15 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-2 — \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 — 8}{2} = -5$$ $$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3$$

а) На отрезке $[-6; 0]$

Находим все значения функции в концах отрезка и в критической точке $x = -5$, так как она входит в данный отрезок. Точка $x = 3$ не входит.

Вычислим значения:

$$y(-6) = (-6)^3 + 3 \cdot (-6)^2 — 45 \cdot (-6) — 2 = -216 + 108 + 270 — 2 = 160$$ $$y(-5) = (-5)^3 + 3 \cdot (-5)^2 — 45 \cdot (-5) — 2 = -125 + 75 + 225 — 2 = 173$$ $$y(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 — 45 \cdot 0 — 2 = -2$$

Ответ:

Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = -2$, при $x = 0$
Наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = 173$, при $x = -5$

б) На отрезке $[1; 2]$

Ни одна из критических точек не входит в данный отрезок, поэтому значения считаем только на концах.

Вычислим значения:

$$y(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 — 45 \cdot 1 — 2 = 1 + 3 — 45 — 2 = -43$$ $$y(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 — 45 \cdot 2 — 2 = 8 + 12 — 90 — 2 = -72$$

Ответ:

Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = -72$, при $x = 2$
Наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = -43$, при $x = 1$

в) На отрезке $[-6; -1]$

Критическая точка $x = -5$ входит в отрезок. Точка $x = 3$ не входит.

Вычислим значения:

$$y(-6) = -216 + 108 + 270 — 2 = 160$$ $$y(-5) = -125 + 75 + 225 — 2 = 173$$ $$y(-1) = (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 — 45 \cdot (-1) — 2 = -1 + 3 + 45 — 2 = 45$$

Ответ:

Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = 45$, при $x = -1$
Наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = 173$, при $x = -5$

г) На отрезке $[0; 2]$

Ни одна из критических точек не входит в этот отрезок.

Вычислим значения:

$$y(0) = -2$$ $$y(2) = 8 + 12 — 90 — 2 = -72$$

Ответ:

Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = -72$, при $x = 2$
Наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = -2$, при $x = 0$