ГДЗ 10-11 Класс Номер 33.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $x^3 = 125$;

б) $x^7 = \frac{1}{128}$;

в) $x^5 = 32$;

г) $x^9 = 1$

Решить уравнение:

а) $x^3 = 125$;
$x = \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$;
Ответ: 5.

б) $x^7 = \frac{1}{128}$;
$x = \sqrt[7]{\frac{1}{128}} = \sqrt[7]{\frac{1}{2^7}} = \frac{1}{2} = 0{,}5$;
Ответ: 0,5.

в) $x^5 = 32$;
$x = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$;
Ответ: 2.

г) $x^9 = 1$;
$x = \sqrt[9]{1} = 1$;
Ответ: 1.

Чтобы решить уравнение вида:

$$x^n = a,$$

нужно извлечь корень степени $n$ из обеих частей:

$$x = \sqrt[n]{a}$$

Если $a > 0$, то:

• при нечётном $n$ корень единственный и положительный;
• при чётном $n$ — два корня: положительный и отрицательный, но в этом задании по условию указан только положительный корень.

а) $x^3 = 125$

Шаг 1. Уравнение имеет вид $x^n = a$, где $n = 3$, $a = 125$.
Нужно извлечь кубический корень из 125:

$$x = \sqrt[3]{125}$$

Шаг 2. Представим 125 как степень:

$$125 = 5^3$$

Шаг 3. Извлекаем корень:

$$\sqrt[3]{5^3} = 5$$

Ответ: $\boxed{5}$

б) $x^7 = \dfrac{1}{128}$

Шаг 1. Представим правую часть как степень:

$$128 = 2^7 \Rightarrow \frac{1}{128} = \frac{1}{2^7}$$

Шаг 2. Извлекаем корень 7-й степени:

$$x = \sqrt[7]{\frac{1}{128}} = \sqrt[7]{\frac{1}{2^7}} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3. Переведём в десятичную дробь:

$$\frac{1}{2} = 0{,}5$$

Ответ: $\boxed{0{,}5}$

в) $x^5 = 32$

Шаг 1. Представим 32 как степень:

$$32 = 2^5$$

Шаг 2. Извлекаем корень 5-й степени:

$$x = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$$

Ответ: $\boxed{2}$

г) $x^9 = 1$

Шаг 1. Любое число в нечётной степени равно 1, если оно само равно 1.

$$1 = 1^9 \Rightarrow x = \sqrt[9]{1} = 1$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 1}}$