ГДЗ 10-11 Класс Номер 33.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sqrt[3]{x^2 — 9x — 19} = -3$;

б) $\sqrt[4]{x^2 — 10x + 25} = 2$;

в) $\sqrt[7]{2x^2 + 6x — 57} = -1$;

г) $\sqrt[6]{x^2 + 7x + 13} = 1$

Решить уравнение:

а) $\sqrt[3]{x^2 — 9x — 19} = -3$;
$x^2 — 9x — 19 = -27$;
$x^2 — 9x + 8 = 0$;
$D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49$, тогда:
$x_1 = \dfrac{9 — 7}{2} = 1$ и $x_2 = \dfrac{9 + 7}{2} = 8$;
Ответ: 1; 8.

б) $\sqrt[4]{x^2 — 10x + 25} = 2$;
$x^2 — 10x + 25 = 16$;
$x^2 — 10x + 9 = 0$;
$D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64$, тогда:
$x_1 = \dfrac{10 — 8}{2} = 1$ и $x_2 = \dfrac{10 + 8}{2} = 9$;
Ответ: 1; 9.

в) $\sqrt[7]{2x^2 + 6x — 57} = -1$;
$2x^2 + 6x — 57 = -1$;
$2x^2 + 6x — 56 = 0$;
$x^2 + 3x — 28 = 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 28 = 9 + 112 = 121$, тогда:
$x_1 = \dfrac{-3 — 11}{2} = -7$ и $x_2 = \dfrac{-3 + 11}{2} = 4$;
Ответ: $-7$; 4.

г) $\sqrt[6]{x^2 + 7x + 13} = 1$;
$x^2 + 7x + 13 = 1$;
$x^2 + 7x + 12 = 0$;
$D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1$, тогда:
$x_1 = \dfrac{-7 — 1}{2} = -4$ и $x_2 = \dfrac{-7 + 1}{2} = -3$;
Ответ: $-4$; $-3$.

Уравнение имеет вид:

$$\sqrt[n]{f(x)} = a$$

Чтобы решить:

1. Возвести обе части в степень $n$ (для избавления от корня).
2. Получить квадратное уравнение.
3. Привести подобные.
4. Решить через дискриминант:$$D = b^2 — 4ac, \quad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

а) $\sqrt[3]{x^2 — 9x — 19} = -3$

Шаг 1. Возводим обе части в 3-ю степень:

$$x^2 — 9x — 19 = (-3)^3 = -27$$

Шаг 2. Приводим подобные:

$$x^2 — 9x — 19 + 27 = 0 \Rightarrow x^2 — 9x + 8 = 0$$

Шаг 3. Вычисляем дискриминант:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49$$

Шаг 4. Находим корни:

$$x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1,\quad x_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8$$

Ответ: $\boxed{1;\ 8}$

б) $\sqrt[4]{x^2 — 10x + 25} = 2$

Шаг 1. Возводим обе части в 4-ю степень:

$$x^2 — 10x + 25 = 2^4 = 16$$

Шаг 2. Приводим подобные:

$$x^2 — 10x + 25 — 16 = 0 \Rightarrow x^2 — 10x + 9 = 0$$

Шаг 3. Дискриминант:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 — 36 = 64$$

Шаг 4. Корни:

$$x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1,\quad x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9$$

Ответ: $\boxed{1;\ 9}$

в) $\sqrt[7]{2x^2 + 6x — 57} = -1$

Шаг 1. Возводим обе части в 7-ю степень:

$$2x^2 + 6x — 57 = (-1)^7 = -1$$

Шаг 2. Приводим подобные:

$$2x^2 + 6x — 56 = 0 \Rightarrow \text{разделим на 2: } x^2 + 3x — 28 = 0$$

Шаг 3. Дискриминант:

$$D = 3^2 + 4 \cdot 28 = 9 + 112 = 121$$

Шаг 4. Корни:

$$x_1 = \frac{-3 — \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 — 11}{2} = -7$$ $$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 + 11}{2} = 4$$

Ответ: $\boxed{-7;\ 4}$

г) $\sqrt[6]{x^2 + 7x + 13} = 1$

Шаг 1. Возводим обе части в 6-ю степень:

$$x^2 + 7x + 13 = 1$$

Шаг 2. Приводим подобные:

$$x^2 + 7x + 12 = 0$$

Шаг 3. Дискриминант:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1$$

Шаг 4. Корни:

$$x_1 = \frac{-7 — \sqrt{1}}{2} = \frac{-7 — 1}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-7 + 1}{2} = -3$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -4;-3}}$