ГДЗ 10-11 Класс Номер 33.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Расположите числа в порядке возрастания:

а) 2; $\sqrt[3]{5}$; $\sqrt[4]{17}$;

б) $\sqrt[3]{75}$; 4; $\sqrt[5]{100}$;

в) 3; $\sqrt[5]{40}$; $\sqrt[3]{7}$;

г) 2; $\sqrt[6]{60}$; $\sqrt[4]{20}$

Расположить числа в порядке возрастания:

а) 2; $\sqrt[3]{5}$; $\sqrt[4]{17}$;
Сравним данные числа:
$5 < 8 \Rightarrow \sqrt[3]{5} < 2$;
$17 > 16 \Rightarrow \sqrt[4]{17} > 2$;
Ответ: $\sqrt[3]{5};\ 2;\ \sqrt[4]{17}$.

б) $\sqrt[3]{75}$; 4; $\sqrt[5]{100}$;
Сравним данные числа:
$75 > 64 \Rightarrow \sqrt[3]{75} > 4$;
$100 < 1024 \Rightarrow \sqrt[5]{100} < 4$;
Ответ: $\sqrt[5]{100};\ 4;\ \sqrt[3]{75}$.

в) 3; $\sqrt[5]{40}$; $\sqrt[3]{7}$;
Сравним данные числа:
$32 < 40 < 243 \Rightarrow 2 < \sqrt[5]{40} < 3$;
$7 < 8 \Rightarrow \sqrt[3]{7} < 2$;
Ответ: $\sqrt[3]{7};\ \sqrt[5]{40};\ 3$.

г) 2; $\sqrt[6]{60}$; $\sqrt[4]{20}$;
Сравним данные числа:
$60 < 64 \Rightarrow \sqrt[6]{60} < 2$;
$20 > 16 \Rightarrow \sqrt[4]{20} > 2$;
Ответ: $\sqrt[6]{60};\ 2;\ \sqrt[4]{20}$.

Для каждого числа вида $\sqrt[n]{a}$ находим два ближайших целых числа $m$ и $m+1$, между которыми оно лежит, используя:

$$m^n < a < (m+1)^n \Rightarrow m < \sqrt[n]{a} < m+1$$

а) $2;\ \sqrt[3]{5};\ \sqrt[4]{17}$

1. Сравним $\sqrt[3]{5}$ и 2:

$$2^3 = 8 > 5 \Rightarrow \sqrt[3]{5} < 2$$

2. Сравним $\sqrt[4]{17}$ и 2:

$$2^4 = 16 < 17 < 3^4 = 81 \Rightarrow \sqrt[4]{17} > 2$$

Вывод:

$$\sqrt[3]{5} < 2 < \sqrt[4]{17}$$

Ответ: $\boxed{ \sqrt[3]{5};\ 2;\ \sqrt[4]{17} }$

б) $\sqrt[3]{75};\ 4;\ \sqrt[5]{100}$

1. Сравним $\sqrt[3]{75}$ и 4:

$$4^3 = 64 < 75 < 5^3 = 125 \Rightarrow \sqrt[3]{75} > 4$$

2. Сравним $\sqrt[5]{100}$ и 4:

$$4^5 = 1024 > 100 \Rightarrow \sqrt[5]{100} < 4$$

Вывод:

$$\sqrt[5]{100} < 4 < \sqrt[3]{75}$$

Ответ: $\boxed{ \sqrt[5]{100};\ 4;\ \sqrt[3]{75} }$

в) $3;\ \sqrt[5]{40};\ \sqrt[3]{7}$

1. Сравним $\sqrt[5]{40}$ и 3:

$$3^5 = 243,\quad 2^5 = 32,\quad 40 \in (32; 243) \Rightarrow \sqrt[5]{40} \in (2; 3) \Rightarrow \sqrt[5]{40} < 3$$

2. Сравним $\sqrt[3]{7}$ и 2:

$$2^3 = 8 > 7 \Rightarrow \sqrt[3]{7} < 2$$

Вывод:

$$\sqrt[3]{7} < \sqrt[5]{40} < 3$$

Ответ: $\boxed{ \sqrt[3]{7};\ \sqrt[5]{40};\ 3 }$

г) $2;\ \sqrt[6]{60};\ \sqrt[4]{20}$

1. Сравним $\sqrt[6]{60}$ и 2:

$$2^6 = 64 > 60 \Rightarrow \sqrt[6]{60} < 2$$

2. Сравним $\sqrt[4]{20}$ и 2:

$$2^4 = 16 < 20 < 3^4 = 81 \Rightarrow \sqrt[4]{20} > 2$$

Вывод:

$$\sqrt[6]{60} < 2 < \sqrt[4]{20}$$

Ответ: $\boxed{ \sqrt[6]{60};\ 2;\ \sqrt[4]{20} }$