ГДЗ 10-11 Класс Номер 33.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sqrt[5]{32}+\sqrt[3]{-8}$

б) $\sqrt[4]{625}-\sqrt[3]{-125}$

в) $3\sqrt[4]{16}-4\sqrt[3]{27}$

г) $12-6\sqrt[3]{\mathrm{0,125}}$

Вычислить значение:

а) $\sqrt[5]{32} + \sqrt[3]{-8} = \sqrt[5]{32} — \sqrt[3]{8} = \sqrt[5]{2^5} — \sqrt[3]{2^3} = 2 — 2 = 0$;
Ответ: 0.

б) $\sqrt[4]{625} — \sqrt[3]{-125} = \sqrt[4]{625} + \sqrt[3]{125} = \sqrt[4]{5^4} + \sqrt[3]{5^3} = 5 + 5 = 10$;
Ответ: 10.

в) $3\sqrt[4]{16} — 4\sqrt[3]{27} = 3\sqrt[4]{2^4} — 4\sqrt[3]{3^3} = 3 \cdot 2 — 4 \cdot 3 = 6 — 12 = -6$;
Ответ: $-6$.

г) $12 — 6\sqrt[3]{0{,}125} = 12 — 6\sqrt[3]{\frac{125}{1000}} = 12 — 6\sqrt[3]{\frac{5^3}{10^3}} = 12 — \frac{6 \cdot 5}{10} = 9$;
Ответ: 9.

Теория перед началом

• Корень степени $n$ из числа $a$:

  $$\sqrt[n]{a} = b \quad \Leftrightarrow \quad b^n = a$$

• Если $a = b^n$, то:

  $$\sqrt[n]{a} = b$$

• Если подкоренное число отрицательное, а степень корня нечётная (например, 3, 5), то:

  $$\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$$

а) $\sqrt[5]{32} + \sqrt[3]{-8}$

Шаг 1. Упростим по свойствам корней:

$$\sqrt[5]{32} + \sqrt[3]{-8} = \sqrt[5]{2^5} + \left(-\sqrt[3]{2^3}\right) = 2 — 2$$

Шаг 2. Вычисляем:

$$2 — 2 = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

б) $\sqrt[4]{625} — \sqrt[3]{-125}$

Шаг 1. Заменим $\sqrt[3]{-125}$ на $-\sqrt[3]{125}$:

$$\sqrt[4]{625} — \sqrt[3]{-125} = \sqrt[4]{625} + \sqrt[3]{125}$$

Шаг 2. Представим подкоренные выражения как степени:

• $625 = 5^4 \Rightarrow \sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$
• $125 = 5^3 \Rightarrow \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$

Шаг 3. Складываем:

$$5 + 5 = 10$$

Ответ: $\boxed{10}$

в) $3\sqrt[4]{16} — 4\sqrt[3]{27}$

Шаг 1. Представим числа как степени:

• $16 = 2^4 \Rightarrow \sqrt[4]{16} = 2$
• $27 = 3^3 \Rightarrow \sqrt[3]{27} = 3$

Шаг 2. Подставим в выражение:

$$3 \cdot 2 — 4 \cdot 3 = 6 — 12 = -6$$

Ответ: $\boxed{-6}$

г) $12 — 6\sqrt[3]{0{,}125}$

Шаг 1. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$$0{,}125 = \frac{125}{1000} = \frac{5^3}{10^3}$$

Шаг 2. Найдём корень третьей степени:

$$\sqrt[3]{\frac{5^3}{10^3}} = \frac{5}{10} = 0{,}5$$

Шаг 3. Подставим и посчитаем:

$$12 — 6 \cdot 0{,}5 = 12 — 3 = 9$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 9}}$