ГДЗ 10-11 Класс Номер 34.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

а) $y = \sqrt[4]{2x — 4}$;

Выражение имеет смысл при:
$2x — 4 \geq 0$;
$2x \geq 4$;
$x \geq 2$;

Ответ: $D(y) = [2; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[8]{2 — 3x}$;

Выражение имеет смысл при:
$2 — 3x \geq 0$;
$3x \leq 2$;
$x \leq \frac{2}{3}$;

Ответ: $D(y) = \left(-\infty; \frac{2}{3}\right]$.

в) $y = \sqrt[6]{3x — 9}$;

Выражение имеет смысл при:
$3x — 9 \geq 0$;
$3x \geq 9$;
$x \geq 3$;

Ответ: $D(y) = [3; +\infty)$.

г) $y = \sqrt[12]{1 — 5x}$;

Выражение имеет смысл при:
$1 — 5x \geq 0$;
$5x \leq 1$;
$x \leq 0,2$;

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0,2]$.

а) $y = \sqrt[4]{2x — 4}$

Шаг 1: Анализ функции

• Функция содержит корень четной степени (4).
• Корень четной степени определён только при неотрицательном подкоренном выражении, то есть:

  $$2x — 4 \geq 0$$

Шаг 2: Решаем неравенство

$$2x — 4 \geq 0$$

Добавим 4 к обеим частям:

$$2x \geq 4$$

Разделим обе части на 2:

$$x \geq 2$$

Шаг 3: Ответ

$$D(y) = [2; +\infty)$$

б) $y = \sqrt[8]{2 — 3x}$

Шаг 1: Анализ функции

• Степень корня — 8 (четная).
• Значит, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

  $$2 — 3x \geq 0$$

Шаг 2: Решаем неравенство

$$2 — 3x \geq 0$$

Вычитаем 2 из обеих частей:

$$-3x \geq -2$$

Делим обе части на -3. Знак неравенства меняется на противоположный:

$$x \leq \frac{2}{3}$$

Шаг 3: Ответ

$$D(y) = \left(-\infty; \frac{2}{3}\right]$$

в) $y = \sqrt[6]{3x — 9}$

Шаг 1: Анализ функции

• Корень шестой степени — четный.
• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

  $$3x — 9 \geq 0$$

Шаг 2: Решаем неравенство

$$3x — 9 \geq 0$$

Прибавим 9 к обеим частям:

$$3x \geq 9$$

Разделим обе части на 3:

$$x \geq 3$$

Шаг 3: Ответ

$$D(y) = [3; +\infty)$$

г) $y = \sqrt[12]{1 — 5x}$

Шаг 1: Анализ функции

• Степень корня — 12 (четная).
• Значит, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

  $$1 — 5x \geq 0$$

Шаг 2: Решаем неравенство

$$1 — 5x \geq 0$$

Вычитаем 1:

$$-5x \geq -1$$

Делим обе части на -5 (меняем знак неравенства):

$$x \leq 0{,}2$$

Шаг 3: Ответ

$$D(y) = (-\infty; 0{,}2]$$

Итог:

а) $D(y) = [2; +\infty)$
б) $D(y) = \left(-\infty; \frac{2}{3}\right]$
в) $D(y) = [3; +\infty)$
г) $D(y) = (-\infty; 0{,}2]$