ГДЗ 10-11 Класс Номер 34.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt[3]{x^2 + 5}$;

б) $y = \sqrt[7]{x^3 — 1}$;

в) $y = \sqrt[9]{6x — 7}$;

г) $y = \sqrt[5]{2x + 1}$

Найти область определения функции:

а) $y = \sqrt[3]{x^2 + 5}$;

Выражение имеет смысл при:
$(x^2 + 5) \in \mathbb{R}$;
$x \in \mathbb{R}$;

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[7]{x^3 — 1}$;

Выражение имеет смысл при:
$(x^3 — 1) \in \mathbb{R}$;
$x \in \mathbb{R}$;

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[9]{6x — 7}$;

Выражение имеет смысл при:
$(6x — 7) \in \mathbb{R}$;
$x \in \mathbb{R}$;

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) $y = \sqrt[5]{2x + 1}$;

Выражение имеет смысл при:
$(2x + 1) \in \mathbb{R}$;
$x \in \mathbb{R}$;

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

а) $y = \sqrt[3]{x^2 + 5}$

Шаг 1: Анализ функции

• Это корень нечётной степени: $\sqrt[3]{\cdot}$.
• Корень нечётной степени определён на всём множестве вещественных чисел, даже если подкоренное выражение отрицательное.

Шаг 2: Анализ подкоренного выражения

• Под корнем: $x^2 + 5$.
• Любое число $x$ даёт значение $x^2 \geq 0$, значит:

  $$x^2 + 5 \geq 5 > 0$$

• То есть выражение всегда определено и положительно.

Шаг 3: Вывод

• Подкоренное выражение существует при любом $x \in \mathbb{R}$.

Ответ

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

б) $y = \sqrt[7]{x^3 — 1}$

Шаг 1: Анализ функции

• Это корень нечётной степени: $\sqrt[7]{\cdot}$.
• Корень нечётной степени определён при любом вещественном числе.

Шаг 2: Анализ подкоренного выражения

• Под корнем: $x^3 — 1$, что является многочленом третьей степени.
• Многочлены определены на всём множестве вещественных чисел.

Шаг 3: Вывод

• Значение под корнем существует при любом $x \in \mathbb{R}$.

Ответ

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

в) $y = \sqrt[9]{6x — 7}$

Шаг 1: Анализ функции

• Корень нечётной степени (9).
• Определён при любом значении подкоренного выражения.

Шаг 2: Анализ подкоренного выражения

• Под корнем: $6x — 7$ — это линейное выражение.
• Линейные выражения определены при любом $x \in \mathbb{R}$.

Шаг 3: Вывод

• Подкоренное выражение существует при любом вещественном $x$.

Ответ

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

г) $y = \sqrt[5]{2x + 1}$

Шаг 1: Анализ функции

• Корень нечётной степени (5).
• Такие корни существуют при любых значениях подкоренного выражения, включая отрицательные.

Шаг 2: Анализ подкоренного выражения

• Под корнем: $2x + 1$ — линейное выражение.
• Определено при любом $x \in \mathbb{R}$.

Шаг 3: Вывод

• Значение функции существует при любом значении $x$.

Ответ

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

Общий вывод:

Во всех четырёх случаях подкоренные выражения находятся под корнями нечётной степени, которые определены на всей числовой прямой. Следовательно:

Итог:

а) $D(y) = (-\infty; +\infty)$
б) $D(y) = (-\infty; +\infty)$
в) $D(y) = (-\infty; +\infty)$
г) $D(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$