ГДЗ 10-11 Класс Номер 34.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{x^2 + 4x — 12}$;

б) $y = \sqrt[12]{15 — x^2 + 2x}$;

в) $y = \sqrt{x^2 — 8x + 12}$;

г) $y = \sqrt[6]{4 — x^2 — 3x}$

Найти область определения функции:

а) $y = \sqrt{x^2 + 4x — 12}$;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 + 4x — 12 \geq 0$;

$D = 4^2 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64$, тогда:

$x_1 = \frac{-4 — 8}{2} = -6$ и $x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2$;

$(x + 6)(x — 2) \geq 0$;

$x \leq -6$ или $x \geq 2$;

Ответ: $D(y) = (-\infty; -6] \cup [2; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[12]{15 — x^2 + 2x}$;

Выражение имеет смысл при:

$15 — x^2 + 2x \geq 0$;

$x^2 — 2x — 15 \leq 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64$, тогда:

$x_1 = \frac{2 — 8}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5$;

$(x + 3)(x — 5) \leq 0$;

$-3 \leq x \leq 5$;

Ответ: $D(y) = [-3; 5]$.

в) $y = \sqrt{x^2 — 8x + 12}$;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 — 8x + 12 \geq 0$;

$D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16$, тогда:

$x_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$;

$(x — 2)(x — 6) \geq 0$;

$x \leq 2$ или $x \geq 6$;

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2] \cup [6; +\infty)$.

г) $y = \sqrt[6]{4 — x^2 — 3x}$;

Выражение имеет смысл при:

$4 — x^2 — 3x \geq 0$;

$x^2 + 3x — 4 \leq 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$;

$(x + 4)(x — 1) \leq 0$;

$-4 \leq x \leq 1$;

Ответ: $D(y) = [-4; 1]$.

а) $y = \sqrt{x^2 + 4x — 12}$

Шаг 1: Условие определённости

• Корень квадратный (чётной степени).
• Чтобы функция имела смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

  $$x^2 + 4x — 12 \geq 0$$

Шаг 2: Решение неравенства

Решаем квадратное неравенство:

• Найдём дискриминант:

  $$D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$$

• Находим корни квадратного уравнения:

  $$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}$$ $$x_1 = \frac{-4 — 8}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2$$

Разложим выражение на множители:

$$x^2 + 4x — 12 = (x + 6)(x — 2)$$

Решаем:

$$(x + 6)(x — 2) \geq 0$$

Это произведение двух множителей ≥ 0 тогда, когда:

• оба положительны: $x \geq 2$
• оба отрицательны: $x \leq -6$

Ответ:

$$D(y) = (-\infty; -6] \cup [2; +\infty)$$

б) $y = \sqrt[12]{15 — x^2 + 2x}$

Шаг 1: Условие определённости

• Корень 12-й степени — чётная степень.
• Требуем: подкоренное выражение ≥ 0:

  $$15 — x^2 + 2x \geq 0$$

Шаг 2: Приведение к стандартному виду

$$15 — x^2 + 2x \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -x^2 + 2x + 15 \geq 0$$

Умножим на -1 (неравенство меняется на противоположное):

$$x^2 — 2x — 15 \leq 0$$

Шаг 3: Решение квадратного неравенства

• Дискриминант:

  $$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$

• Корни:

  $$x_1 = \frac{2 — 8}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5$$

Неравенство:

$$(x + 3)(x — 5) \leq 0$$

Произведение ≤ 0 при:

$$x \in [-3; 5]$$

Ответ:

$$D(y) = [-3; 5]$$

в) $y = \sqrt{x^2 — 8x + 12}$

Шаг 1: Условие определённости

• Корень квадратный → подкоренное выражение должно быть ≥ 0:

  $$x^2 — 8x + 12 \geq 0$$

Шаг 2: Решение квадратного неравенства

• Дискриминант:

  $$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16$$

• Корни:

  $$x_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$$

Разложение:

$$(x — 2)(x — 6) \geq 0$$

Произведение ≥ 0 при:

• оба положительны: $x \geq 6$
• оба отрицательны: $x \leq 2$

Ответ:

$$D(y) = (-\infty; 2] \cup [6; +\infty)$$

г) $y = \sqrt[6]{4 — x^2 — 3x}$

Шаг 1: Условие определённости

• Корень 6-й степени → чётная степень.
• Требуется: подкоренное выражение ≥ 0:

  $$4 — x^2 — 3x \geq 0$$

Шаг 2: Приведение к стандартному виду

$$4 — x^2 — 3x \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -x^2 — 3x + 4 \geq 0$$

Умножим на -1:

$$x^2 + 3x — 4 \leq 0$$

Шаг 3: Решение квадратного неравенства

• Дискриминант:

  $$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$$

• Корни:

  $$x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$

Разложение:

$$(x + 4)(x — 1) \leq 0$$

Произведение ≤ 0 при:

$$x \in [-4; 1]$$

Ответ:

$$D(y) = [-4; 1]$$

Итоговые ответы:

а) $D(y) = (-\infty; -6] \cup [2; +\infty)$
б) $D(y) = [-3; 5]$
в) $D(y) = (-\infty; 2] \cup [6; +\infty)$
г) $D(y)=[-4;1]$