ГДЗ 10-11 Класс Номер 34.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

а) $y = \sqrt[4]{x + 1}$;

б) $y = \sqrt[5]{x — 2}$;

в) $y = \sqrt[7]{x + 3}$;

г) $y = \sqrt[6]{x — 4}$

Найти область значений функции:

а) $y = \sqrt[4]{x + 1}$;
Показатель корня – четное число;
Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[5]{x — 2}$;
Показатель корня – нечетное число;
Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[7]{x + 3}$;
Показатель корня – нечетное число;
Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) $y = \sqrt[6]{x — 4}$;
Показатель корня – четное число;
Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

а) $y = \sqrt[4]{x + 1}$

Шаг 1: Определим тип корня

• Показатель корня = 4 → четное число.

Шаг 2: Свойства четных корней

• Корень четной степени $\sqrt[n]{a}$, где $n$ чётное, определён только при $a \geq 0$.
• И результат $y = \sqrt[n]{a}$ также всегда $\geq 0$.

Шаг 3: Найдём область определения

$$x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$$

Шаг 4: Найдём область значений

• Минимальное значение $x = -1 \Rightarrow y = \sqrt[4]{0} = 0$
• При увеличении $x$, $x + 1 > 0$, и $y$ растёт
• При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$

Ответ:

$$E(y) = [0; +\infty)$$

б) $y = \sqrt[5]{x — 2}$

Шаг 1: Определим тип корня

• Показатель корня = 5 → нечетное число

Шаг 2: Свойства нечетных корней

• Корень нечетной степени определён при любом значении подкоренного выражения.
• Может быть отрицательным, нулём или положительным.

Шаг 3: Область определения

$$x — 2 \in \mathbb{R} \Rightarrow x \in \mathbb{R}$$

Шаг 4: Область значений

• Так как $x$ может принимать любые значения, то $x — 2 \in (-\infty; +\infty)$
• Следовательно, $y = \sqrt[5]{x — 2} \in (-\infty; +\infty)$

Ответ:

$$E(y) = (-\infty; +\infty)$$

в) $y = \sqrt[7]{x + 3}$

Шаг 1: Показатель корня

• Степень корня = 7 → нечетная

Шаг 2: Свойства

• Нечетные корни принимают все значения, в зависимости от $x \in \mathbb{R}$

Шаг 3: Область определения

$$x + 3 \in \mathbb{R} \Rightarrow x \in \mathbb{R}$$

Шаг 4: Область значений

• $y = \sqrt[7]{x + 3}$ также принимает все действительные значения.

Ответ:

$$E(y) = (-\infty; +\infty)$$

г) $y = \sqrt[6]{x — 4}$

Шаг 1: Показатель корня

• Степень = 6 → чётная

Шаг 2: Свойства

• Чётные корни существуют только при неотрицательном подкоренном выражении.
• И значение корня всегда $\geq 0$.

Шаг 3: Область определения

$$x — 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4$$

Шаг 4: Область значений

• При $x = 4 \Rightarrow y = \sqrt[6]{0} = 0$
• При $x > 4 \Rightarrow y > 0$
• При $x \to +\infty \Rightarrow y \to +\infty$

Ответ:

$$E(y)=[0;+\mathrm{\infty })$$