ГДЗ 10-11 Класс Номер 34.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение функции:

а) $y = \sqrt[4]{x^2 — 6x + 8}$;

б) $y = \sqrt[6]{x^2 + 6x + 10}$

Найти наименьшее значение функции:

а) $y = \sqrt[4]{x^2 — 6x + 8}$;

Подкоренное выражение:
$f(x) = x^2 — 6x + 8$;
$f'(x) = (x^2)’ + (-6x + 8)’ = 2x — 6$;

Промежуток возрастания:
$2x — 6 \geq 0$;
$2x \geq 6$;
$x \geq 3$;

Наименьшее значение:
$f(3) = 3^2 — 6 \cdot 3 + 8 = 9 — 18 + 8 = -1 < 0$;
$y_{\text{наим}} = \sqrt[4]{0} = 0$;

Ответ: 0.

б) $y = \sqrt[6]{x^2 + 6x + 10}$;

Подкоренное выражение:
$f(x) = x^2 + 6x + 10$;
$f'(x) = (x^2)’ + (6x + 10)’ = 2x + 6$;

Промежуток возрастания:
$2x + 6 \geq 0$;
$2x \geq -6$;
$x \geq -3$;

Наименьшее значение:
$f(-3) = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 10 = 9 — 18 + 10 = 1$;
$y_{\text{наим}} = \sqrt[6]{1} = 1$;

Ответ: 1.

а) $y = \sqrt[4]{x^2 — 6x + 8}$

Шаг 1: Область определения функции

• Корень четвёртой степени (чётное число) → подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

  $$x^2 — 6x + 8 \geq 0$$

Решим неравенство:

• Найдём корни квадратного выражения:

  $$x^2 — 6x + 8 = 0 \Rightarrow D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$ $$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \Rightarrow x_1 = 2, \quad x_2 = 4$$

• Решаем неравенство:

  $$(x — 2)(x — 4) \geq 0 \Rightarrow x \leq 2 \quad \text{или} \quad x \geq 4$$

Шаг 2: Найдём наименьшее значение функции

Функция:

$$y = \sqrt[4]{x^2 — 6x + 8}$$

Подкоренное выражение:

$$f(x) = x^2 — 6x + 8$$

Шаг 3: Найдём вершину параболы $f(x)$

• Это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положительный).
• Вершина параболы:

  $$x = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3$$

• Посчитаем значение подкоренного выражения в вершине:

  $$f(3)=3^2-6\cdot 3+8=9-18+8=-1\Rightarrow$$

$$f(3) = 3^2 — 6 \cdot 3 + 8 = 9 — 18 + 8 = -1 \Rightarrow \text{отрицательно, не входит в область определения}$$

Шаг 4: Минимум функции на ОДЗ

ОДЗ: $x \leq 2$ или $x \geq 4$

Найдём значение функции на границах ОДЗ:

При $x = 2$:

$$y = \sqrt[4]{2^2 — 6 \cdot 2 + 8} = \sqrt[4]{4 — 12 + 8} = \sqrt[4]{0} = 0$$

При $x = 4$:

$$y = \sqrt[4]{4^2 — 6 \cdot 4 + 8} = \sqrt[4]{16 — 24 + 8} = \sqrt[4]{0} = 0$$

Значения при $x = 2$ и $x = 4$: 0

Ответ:

$$y_{\text{наим.}} = 0$$

б) $y = \sqrt[6]{x^2 + 6x + 10}$

Шаг 1: Определим область определения

• Корень шестой степени (чётный) → подкоренное выражение должно быть ≥ 0
• Проверим, всегда ли выражение $x^2 + 6x + 10$ ≥ 0

Посчитаем дискриминант:

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4\Rightarrow \text{корней нет, ветви вверх}\Rightarrow$$

$$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 — 40 = -4 \Rightarrow \text{корней нет, ветви вверх} \Rightarrow x^2 + 6x + 10 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Следовательно, область определения: $x \in \mathbb{R}$

Шаг 2: Найдём наименьшее значение функции

$$y = \sqrt[6]{x^2 + 6x + 10}$$

Пусть:

$$f(x) = x^2 + 6x + 10$$

Минимум функции $f(x)$ достигается в вершине параболы:

$$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2} = -3$$ $$f(-3) = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 10 = 9 — 18 + 10 = 1$$ $$y_{\text{наим.}} = \sqrt[6]{1} = 1$$

Ответ:

$$y_{\text{наим.}}=1$$