ГДЗ 10-11 Класс Номер 34.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Построить график функции:

а) $y = \sqrt{x} + 2$
Построим график функции $y = \sqrt{x}$;
Переместим его на 2 единицы вверх.

б) $y = \sqrt[3]{x} — 4$
Построим график функции $y = \sqrt[3]{x}$;
Переместим его на 4 единицы вниз.

в) $y = \sqrt[5]{x} + 1$
Построим график функции $y = \sqrt[5]{x}$;
Переместим его на 1 единицу вверх.

г) $y = \sqrt[4]{x} — \frac{1}{2}$
Построим график функции $y = \sqrt[4]{x}$;
Переместим его на 0,5 единиц вниз.

а) $y = \sqrt{x} + 2$

1. Базовая функция:
$y = \sqrt{x}$

• Определена при $x \geq 0$
• Проходит через точки:
  $(0; 0),\ (1; 1),\ (4; 2),\ (9; 3)$

2. Преобразование:
Добавление числа $+2$ сдвигает график вверх на 2 единицы.

3. Получаемый график:
Все значения $y$ увеличиваются на 2.
Новые точки:

• $x = 0 \Rightarrow y = \sqrt{0} + 2 = 2$
• $x = 1 \Rightarrow y = \sqrt{1} + 2 = 3$
• $x = 4 \Rightarrow y = \sqrt{4} + 2 = 4$
• $x = 9 \Rightarrow y = \sqrt{9} + 2 = 5$

4. Область определения:
$x \geq 0$

5. Поведение графика:
Монотонно возрастает, начинается с точки $(0; 2)$

б) $y = \sqrt[3]{x} — 4$

1. Базовая функция:
$y = \sqrt[3]{x}$

• Определена при всех $x \in \mathbb{R}$
• Проходит через:
  $(-8; -2),\ (-1; -1),\ (0; 0),\ (1; 1),\ (8; 2)$

2. Преобразование:
Вычитание числа $-4$ сдвигает график вниз на 4 единицы.

3. Получаемый график:
Каждое значение $y$ уменьшается на 4.
Новые точки:

• $x = -8 \Rightarrow y = -2 — 4 = -6$
• $x = -1 \Rightarrow y = -1 — 4 = -5$
• $x = 0 \Rightarrow y = 0 — 4 = -4$
• $x = 1 \Rightarrow y = 1 — 4 = -3$
• $x = 8 \Rightarrow y = 2 — 4 = -2$

4. Область определения:
$x \in \mathbb{R}$

5. Поведение графика:
График проходит через точку $(0; -4)$, симметричен относительно этой точки, как и исходный. Монотонно возрастает.

в) $y = \sqrt[5]{x} + 1$

1. Базовая функция:
$y = \sqrt[5]{x}$

• Определена при всех $x \in \mathbb{R}$

2. Преобразование:
Добавление $+1$ — сдвиг графика вверх на 1 единицу.

3. Получаемый график:
Каждое значение $y$ увеличивается на 1.
Новые точки:

• $x = -32 \Rightarrow y = -2 + 1 = -1$
• $x = -1 \Rightarrow y = -1 + 1 = 0$
• $x = 0 \Rightarrow y = 0 + 1 = 1$
• $x = 1 \Rightarrow y = 1 + 1 = 2$
• $x = 32 \Rightarrow y = 2 + 1 = 3$

4. Область определения:
$x \in \mathbb{R}$

5. Поведение графика:
Монотонно возрастает, симметричен относительно точки $(0; 1)$

г) $y = \sqrt[4]{x} — \dfrac{1}{2}$

1. Базовая функция:
$y = \sqrt[4]{x}$

• Определена при $x \geq 0$
• Проходит через точки:
  $(0; 0),\ (1; 1),\ (16; 2)$

2. Преобразование:
Вычитание $\frac{1}{2}$ — сдвиг графика вниз на 0,5 единицы

3. Получаемый график:
Каждое значение $y$ уменьшается на $\dfrac{1}{2}$.
Новые точки:

• $x = 0 \Rightarrow y = 0 — 0.5 = -0.5$
• $x = 1 \Rightarrow y = 1 — 0.5 = 0.5$
• $x = 16 \Rightarrow y = 2 — 0.5 = 1.5$

4. Область определения:
$x \geq 0$

5. Поведение графика:
График расположен ниже базового на $\dfrac{1}{2}$, начинается в точке $(0; -0.5)$, медленно возрастает.