ГДЗ 10-11 Класс Номер 34.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите точки пересечения графиков функций:

а) $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^2$

б) $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = |x|$

в) $y = \sqrt[6]{x}$ и $y = x$

г) $y = \sqrt[5]{x}$ и $y=-x-2$

Найти точки пересечения графиков функций:

а) $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^2$
Графики функций:

Ответ: $(0;\ 0);\ (1;\ 1)$

б) $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = |x|$
Графики функций:

Ответ: $(0;\ 0);\ (1;\ 1)$

в) $y = \sqrt[6]{x}$ и $y = x$
Графики функций:

Ответ: $(0;\ 0);\ (1;\ 1)$

г) $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = -x — 2$
Графики функций:

Ответ: $(-1;\ -1)$

а) $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^2$

1. Описание графиков:

• $y = \sqrt[4]{x}$
  — Определён только при $x \ge 0$ (чётный корень).
  — Монотонно возрастает.
  — Проходит через точку (0; 0), (1; 1), (16; 2).
• $y = x^2$
  — Парабола, ветви вверх.
  — Определена на всей числовой прямой.
  — Проходит через (0; 0), (1; 1), (2; 4), (–1; 1).

2. Приравниваем:

$$\sqrt[4]{x} = x^2 \Rightarrow x = x^8 \Rightarrow x(x^7 — 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1$$

3. Подставим в любую из функций:

• $x = 0 \Rightarrow y = 0$
• $x = 1 \Rightarrow y = 1$

Ответ: $\boxed{(0;\ 0);\ (1;\ 1)}$

б) $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = |x|$

1. Описание графиков:

• $y = \sqrt[3]{x}$
  — Определён на всей числовой прямой.
  — Монотонно возрастает.
  — Проходит через (–1; –1), (0; 0), (1; 1)
• $y = |x|$
  — Ломаная: $y = x$ при $x \ge 0$, $y = -x$ при $x < 0$
  — Проходит через (0; 0), (1; 1), (–1; 1)

2. Приравниваем:

$$\sqrt[3]{x} = |x|$$

Рассмотрим по областям:

Случай 1: $x \ge 0 \Rightarrow |x| = x$

$$\sqrt[3]{x} = x \Rightarrow x^{1/3} = x \Rightarrow x = 1 \quad \text{или} \quad x = 0$$

Случай 2: $x < 0 \Rightarrow |x| = -x$

$$\sqrt[3]{x} = -x$$

Подставим $x = -1 \Rightarrow \sqrt[3]{-1} = -1,\quad -x = 1 \Rightarrow \text{не равно}$

Значит, пересечений на $x < 0$ нет.

Ответ: $\boxed{(0;\ 0);\ (1;\ 1)}$

в) $y = \sqrt[6]{x}$ и $y = x$

1. Описание графиков:

• $y = \sqrt[6]{x}$
  — Определён при $x \ge 0$.
  — Очень пологая кривая, медленно растущая.
  — Проходит через (0; 0), (1; 1)
• $y = x$
  — Прямая, угол 45°
  — Проходит через все точки вида (a; a)

2. Приравниваем:

$$\sqrt[6]{x} = x \Rightarrow x^{1/6} = x$$

Для $x = 0$ и $x = 1$ получаем:

• $\sqrt[6]{0} = 0$
• $\sqrt[6]{1} = 1$

Ответ: $\boxed{(0;\ 0);\ (1;\ 1)}$

г) $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = -x — 2$

1. Описание графиков:

• $y = \sqrt[5]{x}$
  — Определён на всей числовой прямой.
  — Монотонно возрастает, проходит через (0; 0), (1; 1), (–1; –1)
• $y = -x — 2$
  — Прямая, наклон вниз
  — Проходит через (–1; –1), (0; –2), (–2; 0)

2. Приравниваем:

$$\sqrt[5]{x} = -x — 2$$

Проверим подстановкой:

• $x = -1 \Rightarrow \sqrt[5]{-1} = -1, \quad -(-1) — 2 = 1 — 2 = -1 \Rightarrow \text{равны}$

Только одна точка пересечения.

Ответ: $\boxed{{\displaystyle (-1;-1)}}$