ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Возведите в степень:

а) $(2\sqrt{5}{)}^4$

б) ${(b\cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}})}^{2n}$

в) ${(3\cdot \sqrt[5]{\frac{1}{2}})}^5$

г) ${(\frac{1}{b}\cdot \sqrt[p]{b})}^{2p}$

Возвести в степень:

а) $(2\sqrt{5})^4 = 2^4 \cdot (\sqrt{5})^4 = 16 \cdot \sqrt{5^4} = 16 \cdot 5^2 = 16 \cdot 25 = 400$;

Ответ: 400.

б) $\left(b \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}}\right)^{2n} = b^{2n} \cdot \left(\sqrt[n]{\frac{1}{b}}\right)^{2n} = b^{2n} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b^{2n}}} = b^{2n} \cdot \frac{1}{b^2} = b^{2n-2}$;

Ответ: $b^{2n-2}$.

в) $\left(3 \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{2}}\right)^5 = 3^5 \cdot \left(\sqrt[5]{\frac{1}{2}}\right)^5 = 243 \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{2^5}} = 243 \cdot \frac{1}{2} = 121{,}5$;

Ответ: 121,5.

г) $\left(\frac{1}{b} \cdot \sqrt[p]{b}\right)^{2p} = \left(\frac{1}{b}\right)^{2p} \cdot \left(\sqrt[p]{b}\right)^{2p} = \frac{1}{b^{2p}} \cdot \sqrt[p]{b^{2p}} = \frac{1}{b^{2p}} \cdot b^2 = b^{2-2p}$;

Ответ: $b^{2 — 2p}$.

а) $(2\sqrt{5})^4$

Шаг 1. Используем формулу:

$$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$ $$(2 \cdot \sqrt{5})^4 = 2^4 \cdot (\sqrt{5})^4$$

Шаг 2. Считаем степени отдельно:

• $2^4 = 16$
• $(\sqrt{5})^4 = (\sqrt{5^1})^4 = \sqrt{5^4} = \sqrt{625} = 25$

$$\Rightarrow 2^4 \cdot (\sqrt{5})^4 = 16 \cdot 25 = 400$$

Ответ: 400

б) $\left(b \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}} \right)^{2n}$

Шаг 1. Снова используем правило степени произведения:

$$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$ $$\left(b \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}} \right)^{2n} = b^{2n} \cdot \left( \sqrt[n]{\frac{1}{b}} \right)^{2n}$$

Шаг 2. Представим корень как степень:

$$\sqrt[n]{\frac{1}{b}} = \left( \frac{1}{b} \right)^{1/n} \Rightarrow \left( \frac{1}{b} \right)^{2n/n} = \left( \frac{1}{b} \right)^2 = \frac{1}{b^2}$$

Шаг 3. Подставим:

$$b^{2n} \cdot \frac{1}{b^2} = \frac{b^{2n}}{b^2} = b^{2n — 2}$$

Ответ: $b^{2n — 2}$

в) $\left(3 \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{2}} \right)^5$

Шаг 1. Используем правило:

$$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$ $$(3 \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{2}})^5 = 3^5 \cdot \left(\sqrt[5]{\frac{1}{2}}\right)^5$$

Шаг 2. Переходим к степеням:

• $3^5 = 243$
• $\left( \sqrt[5]{\frac{1}{2}} \right)^5 = \frac{1}{2}$

Шаг 3. Перемножаем:

$$243 \cdot \frac{1}{2} = \frac{243}{2} = 121.5$$

Ответ: 121,5

г) $\left( \frac{1}{b} \cdot \sqrt[p]{b} \right)^{2p}$

Шаг 1. Опять используем:

$$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$ $$\left( \frac{1}{b} \cdot \sqrt[p]{b} \right)^{2p} = \left( \frac{1}{b} \right)^{2p} \cdot \left( \sqrt[p]{b} \right)^{2p}$$

Шаг 2. Представим корень как степень:

• $\left( \sqrt[p]{b} \right)^{2p} = \left( b^{1/p} \right)^{2p} = b^{(1/p) \cdot 2p} = b^2$

Шаг 3. Подставим:

$$\left( \frac{1}{b} \right)^{2p} = \frac{1}{b^{2p}}$$ $$\Rightarrow \frac{1}{b^{2p}} \cdot b^2 = \frac{b^2}{b^{2p}} = b^{2 — 2p}$$

Ответ: $b^{2 — 2p}$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{400}$

б) $\boxed{b^{2n — 2}}$

в) $\boxed{121{,}5}$

г) $\boxed{{\displaystyle b^{2-2p}}}$