ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Возведите в степень:

а) $(\sqrt[3]{3a}{)}^9$

б) $(5a\cdot \sqrt[3]{a}{)}^2$

в) $(-5\cdot \sqrt[3]{a^2}{)}^2$

г) $(2\sqrt[3]{-3a^2}{)}^5$

Возвести в степень:

а) $(\sqrt[3]{3a})^9 = \sqrt[3]{(3a)^9} = \sqrt[3]{(3a)^{3\cdot3}} = (3a)^3 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3$;

Ответ: $27a^3$.

б) $(5a \cdot \sqrt[3]{a})^2 = (5a)^2 \cdot (\sqrt[3]{a})^2 = 5^2 \cdot a^2 \cdot \sqrt[3]{a^2} = 25 \sqrt[3]{a^{-2} \cdot a^2} = 25 \sqrt[3]{a^8}$;

Ответ: $25 \sqrt[3]{a^8}$.

в) $(-5 \cdot \sqrt[3]{a^2})^2 = (-5)^2 \cdot (\sqrt[3]{a^2})^2 = 25 \cdot \sqrt[3]{a^4} = 25 \sqrt[3]{a^4}$;

Ответ: $25 \sqrt[3]{a^4}$.

г) $(2\sqrt[3]{-3a^2}{)}^5=2^5\cdot (\sqrt[3]{-3a^2}{)}^5=32\sqrt[3]{(-3a^2{)}^5}=32\sqrt[3]{-3^5\cdot a^{2\cdot 5}}=$

$(2 \sqrt[3]{-3a^2})^5 = 2^5 \cdot (\sqrt[3]{-3a^2})^5 = 32 \sqrt[3]{(-3a^2)^5} = 32 \sqrt[3]{-3^5 \cdot a^{2\cdot5}} = -32 \cdot \sqrt[3]{3^5 \cdot a^{10}} = -32 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{3^2 \cdot a^{10}} = -96 \sqrt[3]{9a^{10}}$;

Ответ: $-96 \sqrt[3]{9a^{10}}$.

а) $(\sqrt[3]{3a})^9$

Шаг 1. Переписываем корень как степень:

$$\sqrt[3]{3a} = (3a)^{1/3}$$

Шаг 2. Возводим в 9-ю степень:

$$((3a)^{1/3})^9 = (3a)^{9/3} = (3a)^3$$

Шаг 3. Возводим произведение в куб:

$$(3a)^3 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3$$

Ответ: $27a^3$

б) $(5a \cdot \sqrt[3]{a})^2$

Шаг 1. Распишем по свойству степени произведения:

$$(5a \cdot \sqrt[3]{a})^2 = (5a)^2 \cdot (\sqrt[3]{a})^2$$

Шаг 2. Считаем отдельно:

• $(5a)^2 = 5^2 \cdot a^2 = 25a^2$
• $(\sqrt[3]{a})^2 = a^{2/3}$

Шаг 3. Перемножаем:

$$25a^2 \cdot a^{2/3} = 25 \cdot a^{2 + 2/3} = 25a^{8/3}$$

Шаг 4. Преобразуем в вид с корнем:

$$a^{8/3} = \sqrt[3]{a^8}$$

Итог:

$$25 \cdot \sqrt[3]{a^8}$$

Ответ: $25 \sqrt[3]{a^8}$

в) $(-5 \cdot \sqrt[3]{a^2})^2$

Шаг 1. Применим свойство степени произведения:

$$(-5 \cdot \sqrt[3]{a^2})^2 = (-5)^2 \cdot (\sqrt[3]{a^2})^2$$

Шаг 2. Вычисляем:

• $(-5)^2 = 25$
• $(\sqrt[3]{a^2})^2 = a^{4/3} = \sqrt[3]{a^4}$

Итог:

$$25 \cdot \sqrt[3]{a^4}$$

Ответ: $25 \sqrt[3]{a^4}$

г) $(2 \cdot \sqrt[3]{-3a^2})^5$

Шаг 1. Представим как произведение:

$$(2 \cdot \sqrt[3]{-3a^2})^5 = 2^5 \cdot (\sqrt[3]{-3a^2})^5$$

Шаг 2. Вычислим:

• $2^5 = 32$
• $(\sqrt[3]{-3a^2})^5 = \sqrt[3]{(-3a^2)^5}$

Шаг 3. Раскрываем степень под корнем:

$$(-3a^2)^5 = (-3)^5 \cdot a^{10} = -243 \cdot a^{10}$$

Шаг 4. Подставим:

$$32 \cdot \sqrt[3]{-243a^{10}} = 32 \cdot (-\sqrt[3]{243a^{10}}) = -32 \cdot \sqrt[3]{243a^{10}}$$

Шаг 5. Разложим $243 = 3^5$, тогда:

$$\sqrt[3]{243a^{10}} = \sqrt[3]{3^5 \cdot a^{10}} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3^2 \cdot a^{10}} = 3 \cdot \sqrt[3]{9a^{10}}$$

Шаг 6. Подставим всё:

$$-32 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{9a^{10}} = -96 \cdot \sqrt[3]{9a^{10}}$$

Ответ: $-96 \sqrt[3]{9a^{10}}$

Итоговые ответы:

а) $27a^3$
б) $25 \sqrt[3]{a^8}$
в) $25 \sqrt[3]{a^4}$
г) $-96\sqrt[3]{9a^{10}}$