ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Приведите радикалы к одинаковому показателю корня:

а) $\sqrt{3},\ \sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{7}$;

б) $\sqrt{2},\ \sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[4]{4}$;

в) $\sqrt{6},\ \sqrt[4]{17}$ и $\sqrt[8]{40}$;

г) $\sqrt[5]{3},\ \sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{100}$

Привести радикалы к одинаковому показателю корня:

а) $\sqrt{3},\ \sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{7}$;
$\sqrt{3} = \sqrt[2\cdot3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$;
$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3\cdot2]{4^2} = \sqrt[6]{16}$;
Ответ: $\sqrt[6]{27};\ \sqrt[6]{16};\ \sqrt[6]{7}$.

б) $\sqrt{2},\ \sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[4]{4}$;
$\sqrt{2} = \sqrt[2\cdot6]{2^6} = \sqrt[12]{64}$;
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3\cdot4]{3^4} = \sqrt[12]{81}$;
$\sqrt[4]{4} = \sqrt[4\cdot3]{4^3} = \sqrt[12]{64}$;
Ответ: $\sqrt[12]{64};\ \sqrt[12]{81};\ \sqrt[12]{64}$.

в) $\sqrt{6},\ \sqrt[4]{17}$ и $\sqrt[8]{40}$;
$\sqrt{6} = \sqrt[2\cdot4]{6^4} = \sqrt[8]{1\,296}$;
$\sqrt[4]{17} = \sqrt[4\cdot2]{17^2} = \sqrt[8]{289}$;
Ответ: $\sqrt[8]{1\,296};\ \sqrt[8]{289};\ \sqrt[8]{40}$.

г) $\sqrt[5]{3},\ \sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{100}$;
$\sqrt[5]{3} = \sqrt[5\cdot3]{3^3} = \sqrt[15]{27}$;
$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3\cdot5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$;
Ответ: $\sqrt[15]{27};\ \sqrt[15]{32};\ \sqrt[15]{100}$.

а) $\sqrt{3},\ \sqrt[3]{4},\ \sqrt[6]{7}$

Шаг 1: Найти наименьшее общее кратное (НОК) степеней

Показатели корней:

• $\sqrt{3}$ — это корень 2-й степени → показатель: 2
• $\sqrt[3]{4}$ — показатель: 3
• $\sqrt[6]{7}$ — показатель: 6

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 2, 3 и 6:

$$\text{НОК}(2, 3, 6) = 6$$

Шаг 2: Преобразуем каждый радикал к корню шестой степени

1)

$$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$$

2)

$$\sqrt[3]{4} = \sqrt[6]{4^2} = \sqrt[6]{16}$$

3)

$$\sqrt[6]{7} \quad \text{уже имеет нужную степень, не изменяем}$$

Ответ:

$$\sqrt[6]{27};\ \sqrt[6]{16};\ \sqrt[6]{7}$$

б) $\sqrt{2},\ \sqrt[3]{3},\ \sqrt[4]{4}$

Шаг 1: Найдём НОК степеней

Показатели: 2, 3, 4

$$\text{НОК}(2, 3, 4) = 12$$

Шаг 2: Преобразуем каждый радикал к корню 12-й степени

1)

$$\sqrt{2} = \sqrt[2]{2} = \sqrt[12]{2^6} = \sqrt[12]{64}$$

2)

$$\sqrt[3]{3} = \sqrt[12]{3^4} = \sqrt[12]{81}$$

3)

$$\sqrt[4]{4} = \sqrt[12]{4^3} = \sqrt[12]{64}$$

Ответ:

$$\sqrt[12]{64};\ \sqrt[12]{81};\ \sqrt[12]{64}$$

в) $\sqrt{6},\ \sqrt[4]{17},\ \sqrt[8]{40}$

Шаг 1: Найдём НОК степеней

Показатели: 2, 4, 8

$$\text{НОК}(2, 4, 8) = 8$$

Шаг 2: Преобразуем к корню 8-й степени

1)

$$\sqrt{6} = \sqrt[2]{6} = \sqrt[8]{6^4} = \sqrt[8]{1\,296}$$

2)

$$\sqrt[4]{17} = \sqrt[8]{17^2} = \sqrt[8]{289}$$

3)

$$\sqrt[8]{40} \quad \text{уже нужная степень}$$

Ответ:

$$\sqrt[8]{1\,296};\ \sqrt[8]{289};\ \sqrt[8]{40}$$

г) $\sqrt[5]{3},\ \sqrt[3]{2},\ \sqrt[15]{100}$

Шаг 1: Найдём НОК степеней

Показатели: 5, 3, 15

$$\text{НОК}(5, 3, 15) = 15$$

Шаг 2: Преобразуем к корню 15-й степени

1)

$$\sqrt[5]{3} = \sqrt[15]{3^3} = \sqrt[15]{27}$$

2)

$$\sqrt[3]{2} = \sqrt[15]{2^5} = \sqrt[15]{32}$$

3)

$$\sqrt[15]{100} \quad \text{уже нужная степень}$$

Ответ:

$$\sqrt[15]{27};\ \sqrt[15]{32};\ \sqrt[15]{100}$$

Итоговые ответы:

а) $\sqrt[6]{27};\ \sqrt[6]{16};\ \sqrt[6]{7}$

б) $\sqrt[12]{64};\ \sqrt[12]{81};\ \sqrt[12]{64}$

в) $\sqrt[8]{1\,296};\ \sqrt[8]{289};\ \sqrt[8]{40}$

г) $\sqrt[15]{27};\sqrt[15]{32};\sqrt[15]{100}$