ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сравните числа:

а) $\sqrt[4]{26}$ и $\sqrt{5}$;

б) $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt{3}$;

в) $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[6]{47}$;

г) $-\sqrt[4]{4}$ и $-\sqrt[3]{3}$

Сравнить числа:

а) $\sqrt[4]{26}$ и $\sqrt{5}$;
$\sqrt{5} = \sqrt[2^2]{5^2} = \sqrt[4]{25}$;
Ответ: $\sqrt[4]{26} > \sqrt{5}$.

б) $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt{3}$;
$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3^2]{5^2} = \sqrt[6]{25}$;
$\sqrt{3} = \sqrt[2^3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$;
Ответ: $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$.

в) $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[6]{47}$;
$\sqrt[3]{7} = \sqrt[3^2]{7^2} = \sqrt[6]{49}$;
Ответ: $\sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{47}$.

г) $-\sqrt[4]{4}$ и $-\sqrt[3]{3}$;
$-\sqrt[4]{4} = -\sqrt[4^3]{4^3} = -\sqrt[12]{64}$;
$-\sqrt[3]{3} = -\sqrt[3^4]{3^4} = -\sqrt[12]{81}$;
Ответ: $-\sqrt[4]{4} > -\sqrt[3]{3}$.

а) $\sqrt[4]{26}$ и $\sqrt{5}$

Шаг 1: Преобразуем $\sqrt{5}$ к корню 4-й степени

$$\sqrt{5} = \sqrt[2]{5} = \sqrt[4]{5^2} = \sqrt[4]{25}$$

Шаг 2: Сравниваем:

$$\sqrt[4]{26} \quad \text{и} \quad \sqrt[4]{25}$$

Так как корни одинаковые, сравниваем подкоренные выражения:

$$26 > 25 \Rightarrow \sqrt[4]{26} > \sqrt[4]{25}$$

А значит:

$$\sqrt[4]{26} > \sqrt{5}$$

Ответ:

$$\boxed{ \sqrt[4]{26} > \sqrt{5} }$$

б) $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt{3}$

Шаг 1: Преобразуем оба выражения к корню 6-й степени

$$\sqrt[3]{5} = \sqrt[6]{5^2} = \sqrt[6]{25}$$

$$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$$

Шаг 2: Сравниваем:

$$\sqrt[6]{25} \quad \text{и} \quad \sqrt[6]{27}$$

Сравниваем подкоренные выражения:

$$25 < 27 \Rightarrow \sqrt[6]{25} < \sqrt[6]{27}$$

Значит:

$$\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$$

Ответ:

$$\boxed{ \sqrt[3]{5} < \sqrt{3} }$$

в) $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[6]{47}$

Шаг 1: Преобразуем $\sqrt[3]{7}$ к корню 6-й степени

$$\sqrt[3]{7} = \sqrt[6]{7^2} = \sqrt[6]{49}$$

$\sqrt[6]{47}$ уже имеет нужную степень.

Шаг 2: Сравниваем:

$$\sqrt[6]{49} \quad \text{и} \quad \sqrt[6]{47}$$

Сравниваем подкоренные выражения:

$$49 > 47 \Rightarrow \sqrt[6]{49} > \sqrt[6]{47}$$

Значит:

$$\sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{47}$$

Ответ:

$$\boxed{ \sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{47} }$$

г) $-\sqrt[4]{4}$ и $-\sqrt[3]{3}$

Шаг 1: Преобразуем оба выражения к корню 12-й степени

$$-\sqrt[4]{4} = -\sqrt[12]{4^3} = -\sqrt[12]{64}$$

$$-\sqrt[3]{3} = -\sqrt[12]{3^4} = -\sqrt[12]{81}$$

Шаг 2: Сравниваем:

$$-\sqrt[12]{64} \quad \text{и} \quad -\sqrt[12]{81}$$

Чем больше подкоренное выражение, тем больше значение самого корня (если знак плюс),
но так как перед корнем минус, знак сравнения переворачивается.

Сравним подкоренные части:

$$64 < 81 \Rightarrow \sqrt[12]{64} < \sqrt[12]{81}$$

Но:

$$-\sqrt[12]{64} > -\sqrt[12]{81}$$

Значит:

$$-\sqrt[4]{4} > -\sqrt[3]{3}$$

Ответ:

$$\boxed{ -\sqrt[4]{4} > -\sqrt[3]{3} }$$

Итоговые ответы:

а) $\sqrt[4]{26} > \sqrt{5}$
б) $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$
в) $\sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{47}$
г) $-\sqrt[4]{4}>-\sqrt[3]{3}$