ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение числового выражения:

а) $\sqrt[5]{243\cdot \frac{1}{32}}$

б) $\sqrt[3]{\frac{8}{125}}$

в) $\sqrt[6]{64\cdot \frac{1}{729}}$

г) $\sqrt[5]{\frac{19}{7\cdot \frac{32}{32}}}$

Найти значение числового выражения:

а) $\sqrt[5]{243 \cdot \frac{1}{32}} = \sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$;
Ответ: 1,5.

б) $\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{2}{5} = 0{,}4$;
Ответ: 0,4.

в) $\sqrt[6]{64 \cdot \frac{1}{729}} = \sqrt[6]{\frac{64}{729}} = \frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt[6]{729}} = \frac{2}{3}$;
Ответ: $\frac{2}{3}$.

г) $\sqrt[5]{\frac{19}{7 \cdot \frac{32}{32}}} = \sqrt[5]{\frac{7 \cdot 32 + 19}{32}} = \sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$;
Ответ: 1,5.

а) $\sqrt[5]{243 \cdot \frac{1}{32}}$

Шаг 1: Преобразуем подкоренное выражение

$$243 \cdot \frac{1}{32} = \frac{243}{32}$$ $$\Rightarrow \sqrt[5]{243 \cdot \frac{1}{32}} = \sqrt[5]{\frac{243}{32}}$$

Шаг 2: Используем свойство дроби под корнем

$$\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}$$

Шаг 3: Извлекаем корни

• $243 = 3^5 \Rightarrow \sqrt[5]{243} = 3$
• $32 = 2^5 \Rightarrow \sqrt[5]{32} = 2$

$$\Rightarrow \frac{3}{2} = 1{,}5$$

Ответ: 1,5

б) $\sqrt[3]{\frac{8}{125}}$

Шаг 1: Используем свойство дроби под корнем

$$\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}}$$

Шаг 2: Извлекаем корни

• $8 = 2^3 \Rightarrow \sqrt[3]{8} = 2$
• $125 = 5^3 \Rightarrow \sqrt[3]{125} = 5$

$$\Rightarrow \frac{2}{5} = 0{,}4$$

Ответ: 0,4

в) $\sqrt[6]{64 \cdot \frac{1}{729}}$

Шаг 1: Преобразуем выражение

$$64 \cdot \frac{1}{729} = \frac{64}{729}$$ $$\Rightarrow \sqrt[6]{64 \cdot \frac{1}{729}} = \sqrt[6]{\frac{64}{729}} = \frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt[6]{729}}$$

Шаг 2: Извлекаем корни

• $64 = 2^6 \Rightarrow \sqrt[6]{64} = 2$
• $729 = 3^6 \Rightarrow \sqrt[6]{729} = 3$

$$\Rightarrow \frac{2}{3}$$

Ответ: $\frac{2}{3}$

г) $\sqrt[5]{\frac{19}{7 \cdot \frac{32}{32}}}$

Шаг 1: Обратим внимание на знаменатель

$$\frac{32}{32} = 1 \Rightarrow 7 \cdot \frac{32}{32} = 7$$ $$\Rightarrow \sqrt[5]{\frac{19}{7}} \quad \text{(на первый взгляд, но это не соответствует дальнейшему решению)}$$

Но в исходном решении:

$$\sqrt[5]{\frac{7 \cdot 32 + 19}{32}} = \sqrt[5]{\frac{243}{32}}$$

Значит, здесь произошло переосмысление дроби:

На самом деле:

$$\frac{19}{7 \cdot \frac{32}{32}} = \frac{19}{7 \cdot 1} = \frac{19}{7}$$

Но затем идёт замена дроби на:

$$\sqrt[5]{\frac{243}{32}} \Rightarrow \text{значит, исходная запись неточная, и под корнем было: } \frac{7 \cdot 32 + 19}{32}$$

Шаг 2: Вычислим числитель

$$7 \cdot 32 = 224$$ $$224 + 19 = 243 \Rightarrow \frac{243}{32}$$

Шаг 3: Извлекаем корни

$$\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$$

Ответ: 1,5