ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Преобразуйте заданное выражение к виду $\sqrt[n]{A}$:

а) $\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{2}$

б) $\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[6]{3}$

в) $\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{3}$

г) $\sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[6]{3}$

Преобразовать заданное выражение к виду $\sqrt[n]{A}$:

а) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[2]{2^2} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{8}$;
Ответ: $\sqrt[4]{8}$.

б) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[6]{3} = \sqrt[3\cdot2]{3^2} \cdot \sqrt[6]{3} = \sqrt[6]{9} \cdot \sqrt[6]{3} = \sqrt[6]{27} = \sqrt[3\cdot2]{3^3} = \sqrt{3}$;
Ответ: $\sqrt{3}$.

в) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[2\cdot3]{2^3} \cdot \sqrt[3\cdot2]{3^2} = \sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{72}$;
Ответ: $\sqrt[6]{72}$.

г) $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[6]{3} = \sqrt[4\cdot3]{2^3} \cdot \sqrt[6\cdot2]{3^2} = \sqrt[12]{8} \cdot \sqrt[12]{9} = \sqrt[12]{72}$;
Ответ: $\sqrt[12]{72}$.

а) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2}$

Шаг 1: Запишем $\sqrt{2}$ как корень четвёртой степени

$$\sqrt{2} = \sqrt[2]{2} = \sqrt[4]{2^2} = \sqrt[4]{4}$$

Шаг 2: Теперь перемножим:

$$\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{4 \cdot 2} = \sqrt[4]{8}$$

Ответ:

$$\boxed{ \sqrt[4]{8} }$$

б) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[6]{3}$

Шаг 1: Приведём оба корня к общему показателю — НОК(3, 6) = 6

$$\sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9}$$ $$\sqrt[6]{3} \quad \text{оставляем как есть}$$

Шаг 2: Перемножим:

$$\sqrt[6]{9} \cdot \sqrt[6]{3} = \sqrt[6]{9 \cdot 3} = \sqrt[6]{27}$$

Шаг 3: Упростим:

$$\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} = 3^{\frac{3}{6}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$

Ответ:

$$\boxed{ \sqrt{3} }$$

в) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}$

Шаг 1: Найдём НОК(2, 3) = 6 и перепишем оба корня

$$\sqrt{2} = \sqrt[2]{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8}$$ $$\sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9}$$

Шаг 2: Перемножим:

$$\sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{8 \cdot 9} = \sqrt[6]{72}$$

Ответ:

$$\boxed{ \sqrt[6]{72} }$$

г) $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[6]{3}$

Шаг 1: Найдём НОК(4, 6) = 12, приведём оба корня к корню 12-й степени

$$\sqrt[4]{2} = \sqrt[12]{2^3} = \sqrt[12]{8}$$ $$\sqrt[6]{3} = \sqrt[12]{3^2} = \sqrt[12]{9}$$

Шаг 2: Перемножим:

$$\sqrt[12]{8} \cdot \sqrt[12]{9} = \sqrt[12]{8 \cdot 9} = \sqrt[12]{72}$$

Ответ:

$$\boxed{ \sqrt[12]{72} }$$

Итоговые ответы:

а) $\sqrt[4]{8}$
б) $\sqrt{3}$
в) $\sqrt[6]{72}$
г) $\sqrt[12]{72}$