ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение числового выражения:

а) $\sqrt[3]{24\cdot 9}$

б) $\sqrt[5]{48\cdot 162}$

в) $\sqrt[3]{75\cdot 45}$

г) $\sqrt[4]{54\cdot 24}$

Найти значение числового выражения:

а) $\sqrt[3]{24 \cdot 9} = \sqrt[3]{8 \cdot 3 \cdot 9} = \sqrt[3]{8 \cdot 27} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = 6$;
Ответ: 6.

б) $\sqrt[5]{48 \cdot 162} = \sqrt[5]{16 \cdot 3 \cdot 81 \cdot 2} = \sqrt[5]{32 \cdot 243} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{243} = 2 \cdot 3 = 6$;
Ответ: 6.

в) $\sqrt[3]{75 \cdot 45} = \sqrt[3]{25 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 5} = \sqrt[3]{125 \cdot 27} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{27} = 5 \cdot 3 = 15$;
Ответ: 15.

г) $\sqrt[4]{54 \cdot 24} = \sqrt[4]{27 \cdot 2 \cdot 8 \cdot 3} = \sqrt[4]{81 \cdot 16} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{16} = 3 \cdot 2 = 6$;
Ответ: 6.

а) $\sqrt[3]{24 \cdot 9}$

Шаг 1: Разложим множители

$$24 = 8 \cdot 3, \quad 9 = 3 \cdot 3$$ $$\Rightarrow 24 \cdot 9 = (8 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) = 8 \cdot 27$$

Шаг 2: Используем свойство корня

$$\sqrt[3]{8 \cdot 27} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}$$

Шаг 3: Извлекаем корни

• $8 = 2^3 \Rightarrow \sqrt[3]{8} = 2$
• $27 = 3^3 \Rightarrow \sqrt[3]{27} = 3$

Шаг 4: Умножим

$$2 \cdot 3 = 6$$

Ответ: 6

б) $\sqrt[5]{48 \cdot 162}$

Шаг 1: Разложим числа

$$48 = 16 \cdot 3 = (2^4) \cdot 3$$ $$162 = 81 \cdot 2 = (3^4) \cdot 2$$ $$\Rightarrow 48 \cdot 162 = (2^4 \cdot 3) \cdot (3^4 \cdot 2) = 2^5 \cdot 3^5 = 32 \cdot 243$$

Шаг 2: Корень пятой степени

$$\sqrt[5]{32 \cdot 243} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{243}$$

Шаг 3: Извлекаем корни

• $32 = 2^5 \Rightarrow \sqrt[5]{32} = 2$
• $243 = 3^5 \Rightarrow \sqrt[5]{243} = 3$

Шаг 4: Умножим

$$2 \cdot 3 = 6$$

Ответ: 6

в) $\sqrt[3]{75 \cdot 45}$

Шаг 1: Разложим на множители

$$75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3, \quad 45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$$ $$\Rightarrow 75 \cdot 45 = (5^2 \cdot 3) \cdot (3^2 \cdot 5) = 5^3 \cdot 3^3 = 125 \cdot 27$$

Шаг 2: Корень третьей степени

$$\sqrt[3]{125 \cdot 27} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{27}$$

Шаг 3: Извлекаем корни

• $\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$
• $\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$

Шаг 4: Умножим

$$5 \cdot 3 = 15$$

Ответ: 15

г) $\sqrt[4]{54 \cdot 24}$

Шаг 1: Разложим на множители

$$54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$$ $$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$$ $$\Rightarrow 54 \cdot 24 = (3^3 \cdot 2) \cdot (2^3 \cdot 3) = 3^4 \cdot 2^4 = 81 \cdot 16$$

Шаг 2: Корень четвёртой степени

$$\sqrt[4]{81 \cdot 16} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{16}$$

Шаг 3: Извлекаем корни

• $81 = 3^4 \Rightarrow \sqrt[4]{81} = 3$
• $16 = 2^4 \Rightarrow \sqrt[4]{16} = 2$

Шаг 4: Умножим

$$3 \cdot 2 = 6$$

Ответ: 6