ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sqrt[4]{32\cdot 3}\cdot \sqrt[4]{8\cdot 27}$

б) $\sqrt[5]{2^5\cdot 7^2}\cdot \sqrt[5]{7^3}$

Вычислить значение:

а) $\sqrt[4]{32 \cdot 3} \cdot \sqrt[4]{8 \cdot 27} = \sqrt[4]{32 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 27} = \sqrt[4]{16 \cdot 16 \cdot 81} = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$;

Ответ: 12.

б) $\sqrt[5]{2^5 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{7^3} = \sqrt[5]{25 \cdot 7^2 \cdot 7^3} = \sqrt[5]{25 \cdot 7^5} = 2 \cdot 7 = 14$;

Ответ: 14.

а) $\sqrt[4]{32 \cdot 3} \cdot \sqrt[4]{8 \cdot 27}$

Шаг 1. Используем свойство корней:

$$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$$ $$\Rightarrow \sqrt[4]{32 \cdot 3} \cdot \sqrt[4]{8 \cdot 27} = \sqrt[4]{(32 \cdot 3) \cdot (8 \cdot 27)}$$

Шаг 2. Перемножим все подкоренные числа:

$$32 \cdot 3 = 96,\quad 8 \cdot 27 = 216$$ $$96 \cdot 216 = \text{можно сгруппировать по степеням двойки и тройки}$$

Разложим:

• $32 = 2^5$
• $8 = 2^3$
• $27 = 3^3$
• $3 = 3$

Теперь:

$$\sqrt[4]{2^5 \cdot 3 \cdot 2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[4]{2^{5 + 3} \cdot 3^{1 + 3}} = \sqrt[4]{2^8 \cdot 3^4}$$

Шаг 3. Разделим по корням:

$$\sqrt[4]{2^8 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{2^8} \cdot \sqrt[4]{3^4} = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$$

Ответ: 12

б) $\sqrt[5]{2^5 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{7^3}$

Шаг 1. Снова используем свойство:

$$\sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b} = \sqrt[5]{a \cdot b}$$ $$\Rightarrow \sqrt[5]{2^5 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{7^3} = \sqrt[5]{(2^5 \cdot 7^2) \cdot 7^3}$$

Шаг 2. Объединим степени:

$$7^2 \cdot 7^3 = 7^{2 + 3} = 7^5$$ $$\Rightarrow \sqrt[5]{2^5 \cdot 7^5} = \sqrt[5]{(2 \cdot 7)^5} = \sqrt[5]{14^5}$$

Шаг 3. Извлекаем корень:

$$\sqrt[5]{14^5} = 14$$

Ответ: 14