ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\sqrt[3]{24}-\sqrt[3]{3}$

б) $2\sqrt[7]{3}+\sqrt[7]{384}$

в) $2\sqrt[5]{64}+\sqrt[5]{486}$

г) $\sqrt[4]{512}-\sqrt[4]{2}$

Упростить выражение:

а) $\sqrt[3]{24} — \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} — \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3}$;
Ответ: $\sqrt[3]{3}$.

б) $2\sqrt[7]{3} + \sqrt[7]{384} = 2\sqrt[7]{3} + \sqrt[7]{128 \cdot 3} = 2\sqrt[7]{3} + 2\sqrt[7]{3} = 4\sqrt[7]{3}$;
Ответ: $4\sqrt[7]{3}$.

в) $2\sqrt[5]{64} + \sqrt[5]{486} = 2\sqrt[5]{32 \cdot 2} + \sqrt[5]{243 \cdot 2} = 2 \cdot 2\sqrt[5]{2} + 3\sqrt[5]{2} = 7\sqrt[5]{2}$;
Ответ: $7\sqrt[5]{2}$.

г) $\sqrt[4]{512} — \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{256 \cdot 2} — \sqrt[4]{2} = 4\sqrt[4]{2} — \sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$;
Ответ: $3\sqrt[4]{2}$.

а) $\sqrt[3]{24} — \sqrt[3]{3}$

Исходное выражение:

$$\sqrt[3]{24} — \sqrt[3]{3}.$$

Разбиваем $24$ на множители:
Мы можем представить $24$ как $24 = 8 \cdot 3$. Тогда:

$$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3}.$$

Используем свойство кубического корня:
Из свойства кубических корней, что $\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$, раскроем корень:

$$\sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3}.$$

Вычисляем $\sqrt[3]{8}$:
Поскольку $\sqrt[3]{8} = 2$, получаем:

$$\sqrt[3]{24} = 2\sqrt[3]{3}.$$

Заменяем выражение в исходной формуле:
Теперь наше выражение выглядит так:

$$2\sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{3}.$$

Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{3}$:
Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $\sqrt[3]{3}$, и можем вынести его:

$$2\sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{3} = (2 — 1)\sqrt[3]{3}.$$

Упрощаем:
В итоге получаем:

$$\sqrt[3]{3}.$$

Ответ: $\sqrt[3]{3}$.

б) $2\sqrt[7]{3} + \sqrt[7]{384}$

Исходное выражение:

$$2\sqrt[7]{3} + \sqrt[7]{384}.$$

Разбиваем $384$ на множители:
Мы можем представить $384$ как $384 = 128 \cdot 3$. Тогда:

$$\sqrt[7]{384} = \sqrt[7]{128 \cdot 3}.$$

Используем свойство седьмого корня:
Из свойства седьмых корней, что $\sqrt[7]{a \cdot b} = \sqrt[7]{a} \cdot \sqrt[7]{b}$, раскроем корень:

$$\sqrt[7]{128 \cdot 3} = \sqrt[7]{128} \cdot \sqrt[7]{3}.$$

Вычисляем $\sqrt[7]{128}$:
Поскольку $128 = 2^7$, то $\sqrt[7]{128} = 2$. Таким образом:

$$\sqrt[7]{384} = 2\sqrt[7]{3}.$$

Заменяем выражение в исходной формуле:
Теперь наше выражение выглядит так:

$$2\sqrt[7]{3} + 2\sqrt[7]{3}.$$

Вынесем общий множитель $\sqrt[7]{3}$:
Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $\sqrt[7]{3}$, и можем вынести его:

$$2\sqrt[7]{3} + 2\sqrt[7]{3} = (2 + 2)\sqrt[7]{3} = 4\sqrt[7]{3}.$$

Ответ: $4\sqrt[7]{3}$.

в) $2\sqrt[5]{64} + \sqrt[5]{486}$

Исходное выражение:

$$2\sqrt[5]{64} + \sqrt[5]{486}.$$

Разбиваем $64$ и $486$ на множители:
Мы можем представить $64$ как $64 = 32 \cdot 2$, а $486$ как $486 = 243 \cdot 2$. Тогда:

$$\sqrt[5]{64} = \sqrt[5]{32 \cdot 2}, \quad \sqrt[5]{486} = \sqrt[5]{243 \cdot 2}.$$

Используем свойство пятого корня:
Из свойства корней, что $\sqrt[5]{a \cdot b} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}$, раскроем корни:

$$\sqrt[5]{32 \cdot 2} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{2}, \quad \sqrt[5]{243 \cdot 2} = \sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{2}.$$

Вычисляем $\sqrt[5]{32}$ и $\sqrt[5]{243}$:
Поскольку $32 = 2^5$, то $\sqrt[5]{32} = 2$. Также, $243 = 3^5$, поэтому $\sqrt[5]{243} = 3$. Таким образом:

$$\sqrt[5]{64} = 2\sqrt[5]{2}, \quad \sqrt[5]{486} = 3\sqrt[5]{2}.$$

Заменяем выражение в исходной формуле:
Теперь наше выражение выглядит так:

$$2\sqrt[5]{64} + \sqrt[5]{486} = 2 \cdot 2\sqrt[5]{2} + 3\sqrt[5]{2}.$$

Вынесем общий множитель $\sqrt[5]{2}$:
Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $\sqrt[5]{2}$, и можем вынести его:

$$2 \cdot 2\sqrt[5]{2} + 3\sqrt[5]{2} = (4 + 3)\sqrt[5]{2} = 7\sqrt[5]{2}.$$

Ответ: $7\sqrt[5]{2}$.

г) $\sqrt[4]{512} — \sqrt[4]{2}$

Исходное выражение:

$$\sqrt[4]{512} — \sqrt[4]{2}.$$

Разбиваем $512$ на множители:
Мы можем представить $512$ как $512 = 256 \cdot 2$. Тогда:

$$\sqrt[4]{512} = \sqrt[4]{256 \cdot 2}.$$

Используем свойство четвертого корня:
Из свойства четвертых корней, что $\sqrt[4]{a \cdot b} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{b}$, раскроем корень:

$$\sqrt[4]{256 \cdot 2} = \sqrt[4]{256} \cdot \sqrt[4]{2}.$$

Вычисляем $\sqrt[4]{256}$:
Поскольку $256 = 4^4$, то $\sqrt[4]{256} = 4$. Таким образом:

$$\sqrt[4]{512} = 4\sqrt[4]{2}.$$

Заменяем выражение в исходной формуле:
Теперь наше выражение выглядит так:

$$4\sqrt[4]{2} — \sqrt[4]{2}.$$

Вынесем общий множитель $\sqrt[4]{2}$:
Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $\sqrt[4]{2}$, и можем вынести его:

$$4\sqrt[4]{2} — \sqrt[4]{2} = (4 — 1)\sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}.$$

Ответ: $3\sqrt[4]{2}$.