ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Выполнить действия:

а) $(\sqrt[3]{m} — 2\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}) = \sqrt[3]{m^2} — 4\sqrt[3]{n^2}$;

б) $(\sqrt[3]{5} — \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt[3]{5}) = \sqrt[3]{5^2} — \sqrt{3^2} = \sqrt[3]{25} — 3$;

в) $(a — \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) = a^2 — \sqrt{b^2} = a^2 — |b| = a^2 — b$;

г) $(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{2} — \sqrt[3]{4}) = 4\sqrt{2^2} — \sqrt[3]{4^2} = 4 \cdot 2 — \sqrt[3]{16} = 8 — \sqrt[3]{16}$;

а) $(\sqrt[3]{m} — 2\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})$

Это выражение представляет собой произведение двух скобок, в которых используются кубические корни. Мы можем воспользоваться формулой разности квадратов, которая имеет вид:

$$(a — b)(a + b) = a^2 — b^2.$$

Используем формулу разности квадратов:
Пусть $a = \sqrt[3]{m}$ и $b = 2\sqrt[3]{n}$. Тогда:

$$(\sqrt[3]{m} — 2\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}) = (\sqrt[3]{m})^2 — (2\sqrt[3]{n})^2.$$

Выполняем возведение в квадрат:

$$(\sqrt[3]{m})^2 = \sqrt[3]{m^2}, \quad (2\sqrt[3]{n})^2 = 4\sqrt[3]{n^2}.$$

Подставляем результаты:

$$\sqrt[3]{m^2} — 4\sqrt[3]{n^2}.$$

Ответ: $\sqrt[3]{m^2} — 4\sqrt[3]{n^2}$.

б) $(\sqrt[3]{5} — \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt[3]{5})$

Здесь также используется формула разности квадратов. Применяем аналогичный подход.

Используем формулу разности квадратов:
Пусть $a = \sqrt[3]{5}$ и $b = \sqrt{3}$. Тогда:

$$(\sqrt[3]{5} — \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt[3]{5}) = (\sqrt[3]{5})^2 — (\sqrt{3})^2.$$

Выполняем возведение в квадрат:

$$(\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}, \quad (\sqrt{3})^2 = 3.$$

Подставляем результаты:

$$\sqrt[3]{25} — 3.$$

Ответ: $\sqrt[3]{25} — 3$.

в) $(a — \sqrt{b})(a + \sqrt{b})$

Это также произведение разности и суммы, и здесь снова применима формула разности квадратов.

Используем формулу разности квадратов:
Пусть $a = a$ и $b = \sqrt{b}$. Тогда:

$$(a — \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) = a^2 — (\sqrt{b})^2.$$

Выполняем возведение в квадрат:

$$(\sqrt{b})^2 = b.$$

Подставляем результаты:

$$a^2 — b.$$

Учитываем, что $\sqrt{b^2} = |b|$:
Если $b$ — это неотрицательное число, то $\sqrt{b^2} = |b|$, так что конечный результат остается $a^2 — b$.

Ответ: $a^2 — b$.

г) $(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{2} — \sqrt[3]{4})$

Здесь мы снова имеем произведение суммы и разности, которое можно упростить с помощью формулы разности квадратов.

Используем формулу разности квадратов:
Пусть $a = \sqrt[3]{4}$ и $b = 2\sqrt{2}$. Тогда:

$$(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{2} — \sqrt[3]{4}) = (\sqrt[3]{4})^2 — (2\sqrt{2})^2.$$

Выполняем возведение в квадрат:

$$(\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{16}, \quad (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8.$$

Подставляем результаты:

$$\sqrt[3]{16} — 8.$$

Конечный ответ:

$$8 — \sqrt[3]{16}.$$

Ответ: $8 — \sqrt[3]{16}$.