ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $(\sqrt[3]{m}-2\sqrt[3]{n}{)}^2$

б) $(\sqrt[3]{5}-\sqrt{3}{)}^2$

в) $(a^2-\sqrt{a}{)}^2$

г) $(\sqrt[3]{4}+2\sqrt{2}{)}^2$

Выполнить действия:

а) $(\sqrt[3]{m} — 2\sqrt[3]{n})^2 = \sqrt[3]{m^2} — 2 \cdot 2\sqrt[3]{m \cdot n} + 4\sqrt[3]{n^2} = \sqrt[3]{m^2} — 4\sqrt[3]{mn} + 4\sqrt[3]{n^2}$;

б) $(\sqrt[3]{5}-\sqrt{3}{)}^2=\sqrt[3]{5^2}-2\cdot \sqrt[3]{5}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3^2}=\sqrt[3]{25}-2\sqrt[6]{5^2\cdot 3^3}+3=$

$(\sqrt[3]{5} — \sqrt{3})^2 = \sqrt[3]{5^2} — 2 \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3^2} = \sqrt[3]{25} — 2\sqrt[6]{5^2 \cdot 3^3} + 3 = \sqrt[3]{25} — 2\sqrt[6]{25 \cdot 27} + 3 = \sqrt[3]{25} — 2\sqrt[6]{675} + 3$;

в) $(a^2 — \sqrt{a})^2 = a^{2 \cdot 2} — 2a^2 \cdot \sqrt{a} + \sqrt{a^2} = a^4 — 2a^2 \cdot \sqrt{a} + a$;

г) $(\sqrt[3]{4}+2\sqrt{2}{)}^2=\sqrt[3]{4^2}+2\cdot \sqrt[3]{4}\cdot 2\sqrt{2}+4\sqrt{2^2}=\sqrt[3]{16}+4\sqrt[6]{4^2\cdot 2^3}+4\cdot 2=$

$(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})^2 = \sqrt[3]{4^2} + 2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2^2} = \sqrt[3]{16} + 4\sqrt[6]{4^2 \cdot 2^3} + 4 \cdot 2 = \sqrt[3]{16} + 4\sqrt[6]{16 \cdot 8} + 8 = \sqrt[3]{16} + 4\sqrt[6]{128} + 8 = 2\sqrt[3]{2} + 8\sqrt[6]{2} + 8$.

а) $(\sqrt[3]{m} — 2\sqrt[3]{n})^2$

Исходное выражение:

$$(\sqrt[3]{m} — 2\sqrt[3]{n})^2$$

Это квадрат разности двух выражений: $\sqrt[3]{m}$ и $2\sqrt[3]{n}$.

Применяем формулу квадрата разности:
Формула для квадрата разности выглядит так:

$$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$$

Применим её к нашему выражению:

$$(\sqrt[3]{m} — 2\sqrt[3]{n})^2 = (\sqrt[3]{m})^2 — 2 \cdot \sqrt[3]{m} \cdot 2\sqrt[3]{n} + (2\sqrt[3]{n})^2$$

Выполняем вычисления по частям:

• Первое слагаемое: $(\sqrt[3]{m})^2$.
  Мы возводим кубический корень в квадрат, что даёт:

  $$(\sqrt[3]{m})^2 = \sqrt[3]{m^2}$$

• Второе слагаемое: $— 2 \cdot \sqrt[3]{m} \cdot 2\sqrt[3]{n}$.
  Здесь мы перемножаем два кубических корня и множитель 2:

  $$-2 \cdot \sqrt[3]{m} \cdot 2\sqrt[3]{n} = -4 \cdot \sqrt[3]{m \cdot n}$$

• Третье слагаемое: $(2\sqrt[3]{n})^2$.
  Возводим $2\sqrt[3]{n}$ в квадрат:

  $$(2\sqrt[3]{n})^2 = 4 \cdot \sqrt[3]{n^2}$$

Итоговое выражение:
Подставляем все найденные выражения в итоговую формулу:

$$(\sqrt[3]{m} — 2\sqrt[3]{n})^2 = \sqrt[3]{m^2} — 4\sqrt[3]{mn} + 4\sqrt[3]{n^2}$$

Ответ:

$$\sqrt[3]{m^2} — 4\sqrt[3]{mn} + 4\sqrt[3]{n^2}$$

б) $(\sqrt[3]{5} — \sqrt{3})^2$

Исходное выражение:

$$(\sqrt[3]{5} — \sqrt{3})^2$$

Это квадрат разности $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt{3}$.

Применяем формулу квадрата разности:
Используем ту же формулу, что и в предыдущем пункте:

$$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$$

Применим её к нашему выражению:

$$(\sqrt[3]{5} — \sqrt{3})^2 = (\sqrt[3]{5})^2 — 2 \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$$

Выполняем вычисления по частям:

• Первое слагаемое: $(\sqrt[3]{5})^2$.
  Возводим кубический корень в квадрат:

  $$(\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$$

• Второе слагаемое: $-2 \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{3}$.
  Здесь мы перемножаем кубический корень $\sqrt[3]{5}$ и квадратный корень $\sqrt{3}$:

  $$-2 \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{3} = -2\sqrt[6]{5^2 \cdot 3^3}$$

  Пояснение: $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt[6]{5^2 \cdot 3^3}$, так как корни от чисел с разными степенями складываются по их индексам.

• Третье слагаемое: $(\sqrt{3})^2$.
  Возводим $\sqrt{3}$ в квадрат:

  $$(\sqrt{3})^2 = 3$$

Итоговое выражение:
Подставляем все вычисления в итоговую формулу:

$$(\sqrt[3]{5} — \sqrt{3})^2 = \sqrt[3]{25} — 2\sqrt[6]{25 \cdot 27} + 3$$

Умножаем $25 \cdot 27 = 675$, получаем:

$$= \sqrt[3]{25} — 2\sqrt[6]{675} + 3$$

Ответ:

$$\sqrt[3]{25} — 2\sqrt[6]{675} + 3$$

в) $(a^2 — \sqrt{a})^2$

Исходное выражение:

$$(a^2 — \sqrt{a})^2$$

Это квадрат разности $a^2$ и $\sqrt{a}$.

Применяем формулу квадрата разности:
Используем стандартную формулу:

$$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$$

Применим её к нашему выражению:

$$(a^2 — \sqrt{a})^2 = (a^2)^2 — 2 \cdot a^2 \cdot \sqrt{a} + (\sqrt{a})^2$$

Выполняем вычисления по частям:

• Первое слагаемое: $(a^2)^2$.
  Возводим $a^2$ в квадрат:

  $$(a^2)^2 = a^4$$

• Второе слагаемое: $-2 \cdot a^2 \cdot \sqrt{a}$.
  Перемножаем $a^2$ и $\sqrt{a}$:

  $$-2 \cdot a^2 \cdot \sqrt{a} = -2a^2 \cdot \sqrt{a}$$

• Третье слагаемое: $(\sqrt{a})^2$.
  Возводим $\sqrt{a}$ в квадрат:

  $$(\sqrt{a})^2 = a$$

Итоговое выражение:
Подставляем все вычисления в итоговую формулу:

$$(a^2 — \sqrt{a})^2 = a^4 — 2a^2 \cdot \sqrt{a} + a$$

Ответ:

$$a^4 — 2a^2 \cdot \sqrt{a} + a$$

г) $(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})^2$

Исходное выражение:

$$(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})^2$$

Это квадрат суммы двух выражений: $\sqrt[3]{4}$ и $2\sqrt{2}$.

Применяем формулу квадрата суммы:
Формула для квадрата суммы:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Применим её к нашему выражению:

$$(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})^2 = (\sqrt[3]{4})^2 + 2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2$$

Выполняем вычисления по частям:

• Первое слагаемое: $(\sqrt[3]{4})^2$.
  Возводим кубический корень $\sqrt[3]{4}$ в квадрат:

  $$(\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{16}$$

• Второе слагаемое: $2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot 2\sqrt{2}$.
  Перемножаем кубический корень и квадратный корень с множителем:

  $$2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot 2\sqrt{2} = 4 \cdot \sqrt[6]{4^2 \cdot 2^3}$$

  Пояснение: $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt[6]{4^2 \cdot 2^3}$.

• Третье слагаемое: $(2\sqrt{2})^2$.
  Возводим $2\sqrt{2}$ в квадрат:

  $$(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$$

Итоговое выражение:
Подставляем все вычисления:

$$(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})^2 = \sqrt[3]{16} + 4\sqrt[6]{16 \cdot 8} + 8$$

Умножаем $16 \cdot 8 = 128$, получаем:

$$= \sqrt[3]{16} + 4\sqrt[6]{128} + 8$$

В дальнейшем упрощаем:

$$= 2\sqrt[3]{2} + 8\sqrt[6]{2} + 8$$

Ответ:

$$2\sqrt[3]{2} + 8\sqrt[6]{2} + 8$$