ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Выполнить действия:

а) $(a-b):(\sqrt{a}-\sqrt{b})={\displaystyle \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$;

б) $(k+l):(\sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{l})={\displaystyle \frac{(\sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{l})(\sqrt[3]{k^2}-\sqrt[3]{kl}+\sqrt[3]{l^2})}{\sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{l}}}=\sqrt[3]{k^2}-\sqrt[3]{kl}+\sqrt[3]{l^2}$;

в) $(m-n):(\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n})={\displaystyle \frac{(\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^2}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^2})}{\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n}}}=$

$=\sqrt[3]{m^2}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^2}$;

г) $(x-4y):(\sqrt{x}+2\sqrt{y})={\displaystyle \frac{(\sqrt{x}-2\sqrt{y})(\sqrt{x}+2\sqrt{y})}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}}=\sqrt{x}-2\sqrt{y}$

а) $(a-b):(\sqrt{a}-\sqrt{b})$

Исходное выражение:

$$(a-b):(\sqrt{a}-\sqrt{b})$$

Это выражение деления, в котором числитель — это $(a-b)$, а знаменатель — $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.

Цель: Упростить выражение, используя подходящее правило.

Применяем умножение на сопряжённое выражение:
Для того, чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель на сопряжённое выражение $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$. Это делается для того, чтобы в знаменателе появился разность квадратов:

$$\frac{(a-b)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$$

После этого, числитель будет равен произведению $(a-b)$ на $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$, а знаменатель превратится в разность квадратов.

Выполняем умножение в числителе и знаменателе:

• Числитель:$$(a-b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$

  Здесь в числителе будет выражение $(a-b)$, умноженное на $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$, однако это не нужно раскрывать, так как мы не используем его для дальнейших упрощений.

• Знаменатель:$$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$$

  Здесь используется формула разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.

Получаем окончательное выражение:

$$\frac{(a-b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}$$

Так как $(a-b)$ сокращается в числителе и знаменателе, остаётся:

$$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$

Ответ:

$$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$

б) $(k+l):(\sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{l})$

Исходное выражение:

$$(k+l):(\sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{l})$$

Это выражение деления, где числитель — это $k+l$, а знаменатель — $\sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{l}$.

Цель: Упростить выражение, используя подходящее правило.

Применяем умножение на сопряжённое выражение:
Для кубических корней мы используем сопряжённое выражение, которое для кубических корней имеет вид $\sqrt[3]{k^2}-\sqrt[3]{kl}+\sqrt[3]{l^2}$. Умножив и числитель, и знаменатель на это выражение, мы получим:

$$\frac{(k+l)}{(\sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{l})}\cdot \frac{(\sqrt[3]{k^2}-\sqrt[3]{kl}+\sqrt[3]{l^2})}{(\sqrt[3]{k^2}-\sqrt[3]{kl}+\sqrt[3]{l^2})}$$

Таким образом, числитель будет равен произведению $(k+l)$ на $(\sqrt[3]{k^2}-\sqrt[3]{kl}+\sqrt[3]{l^2})$, а знаменатель превратится в разность кубов.

Выполняем умножение в числителе и знаменателе:

• Числитель:$$(k+l)(\sqrt[3]{k^2}-\sqrt[3]{kl}+\sqrt[3]{l^2})$$

  Это выражение мы оставляем как есть, так как оно уже является простым для дальнейшего упрощения.

• Знаменатель:$$(\sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{l})(\sqrt[3]{k^2}-\sqrt[3]{kl}+\sqrt[3]{l^2})=k+l$$

  Это стандартная формула для разности кубов:

  $$(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$$

  В данном случае $\sqrt[3]{k^3}+\sqrt[3]{l^3}=k+l$.

Получаем окончательное выражение:

$$\frac{(k+l)(\sqrt[3]{k^2}-\sqrt[3]{kl}+\sqrt[3]{l^2})}{k+l}$$

Так как $k+l$ сокращается в числителе и знаменателе, остаётся:

$$\sqrt[3]{k^2}-\sqrt[3]{kl}+\sqrt[3]{l^2}$$

Ответ:

$$\sqrt[3]{k^2}-\sqrt[3]{kl}+\sqrt[3]{l^2}$$

в) $(m-n):(\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n})$

Исходное выражение:

$$(m-n):(\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n})$$

Это выражение деления, где числитель — это $m-n$, а знаменатель — $\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n}$.

Цель: Упростить выражение, используя подходящее правило.

Применяем умножение на сопряжённое выражение:
Для кубических корней умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $(\sqrt[3]{m^2}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^2})$. Тогда получаем:

$$\frac{(m-n)}{(\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n})}\cdot \frac{(\sqrt[3]{m^2}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^2})}{(\sqrt[3]{m^2}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^2})}$$

После этого числитель будет равен произведению $(m-n)$ на $(\sqrt[3]{m^2}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^2})$, а знаменатель станет разностью кубов.

Выполняем умножение в числителе и знаменателе:

• Числитель:$$(m-n)(\sqrt[3]{m^2}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^2})$$

  Это выражение оставляем как есть, так как оно уже простое для дальнейших вычислений.

• Знаменатель:$$(\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^2}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^2})=m-n$$

  Это стандартная формула для разности кубов:

  $$(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$$

  В данном случае $\sqrt[3]{m^3}-\sqrt[3]{n^3}=m-n$.

Получаем окончательное выражение:

$$\frac{(m-n)(\sqrt[3]{m^2}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^2})}{m-n}$$

Так как $m-n$ сокращается в числителе и знаменателе, остаётся:

$$\sqrt[3]{m^2}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^2}$$

Ответ:

$$\sqrt[3]{m^2}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^2}$$

г) $(x-4y):(\sqrt{x}+2\sqrt{y})$

Исходное выражение:

$$(x-4y):(\sqrt{x}+2\sqrt{y})$$

Это выражение деления, где числитель — это $x-4y$, а знаменатель — $\sqrt{x}+2\sqrt{y}$.

Цель: Упростить выражение, используя подходящее правило.

Применяем умножение на сопряжённое выражение:
Для квадратных корней умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $(\sqrt{x}-2\sqrt{y})$. Тогда получаем:

$$\frac{(x-4y)}{(\sqrt{x}+2\sqrt{y})}\cdot \frac{(\sqrt{x}-2\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-2\sqrt{y})}$$

Числитель будет равен произведению $(x-4y)$ на $(\sqrt{x}-2\sqrt{y})$, а знаменатель станет разностью квадратов.

Выполняем умножение в числителе и знаменателе:

• Числитель:$$(x-4y)(\sqrt{x}-2\sqrt{y})$$

  Мы оставляем это выражение как есть для упрощения.

• Знаменатель:$$(\sqrt{x}+2\sqrt{y})(\sqrt{x}-2\sqrt{y})=x-4y$$

  Здесь используется формула разности квадратов:

  $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Получаем окончательное выражение:

$$\frac{(x-4y)(\sqrt{x}-2\sqrt{y})}{x-4y}$$

Сокращаем $x-4y$ в числителе и знаменателе, остаётся:

$$\sqrt{x}-2\sqrt{y}$$

Ответ:

$$\sqrt{x}-2\sqrt{y}$$