ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Выполните действия:

а) $(1+\sqrt{a})(1+\sqrt[4]{a})(1-\sqrt[4]{a})$

б) $(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n})$

Выполнить действия:

а) $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 — \sqrt[4]{a}) = (1 + \sqrt{a})(1 — \sqrt{a}) = 1 — a;$
Ответ: $1 — a$.

б) $(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n}) = (\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} — \sqrt{n}) = m — n;$
Ответ: $m — n$.

а) $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 — \sqrt[4]{a})$

Шаг 1: Упростим выражение $(1 + \sqrt[4]{a})(1 — \sqrt[4]{a})$

Это выражение представляет собой произведение разности и суммы одинаковых выражений, и мы можем применить формулу разности квадратов:

$$(a + b)(a — b) = a^2 — b^2$$

Подставляем $a = 1$ и $b = \sqrt[4]{a}$:

$$(1 + \sqrt[4]{a})(1 — \sqrt[4]{a}) = 1^2 — (\sqrt[4]{a})^2 = 1 — \sqrt{a}$$

Таким образом, у нас получается:

$$(1 + \sqrt[4]{a})(1 — \sqrt[4]{a}) = 1 — \sqrt{a}$$

Шаг 2: Подставим это в исходное выражение

Теперь подставим полученное значение $(1 — \sqrt{a})$ в исходное выражение:

$$(1 + \sqrt{a})(1 — \sqrt{a})$$

Это снова разность квадратов, применяем формулу:

$$(1 + \sqrt{a})(1 — \sqrt{a}) = 1^2 — (\sqrt{a})^2 = 1 — a$$

Ответ:

$$1 — a$$

б) $(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})$

Шаг 1: Упростим выражение $(\sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})$

Здесь у нас также произведение разности и суммы одинаковых выражений, и мы можем снова применить формулу разности квадратов:

$$(a + b)(a — b) = a^2 — b^2$$

Подставляем $a = \sqrt[4]{m}$ и $b = \sqrt[4]{n}$:

$$(\sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n}) = (\sqrt[4]{m})^2 — (\sqrt[4]{n})^2$$

Так как $(\sqrt[4]{m})^2 = \sqrt{m}$ и $(\sqrt[4]{n})^2 = \sqrt{n}$, получаем:

$$(\sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n}) = \sqrt{m} — \sqrt{n}$$

Шаг 2: Подставим это в исходное выражение

Теперь подставим $\sqrt{m} — \sqrt{n}$ в исходное выражение:

$$(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} — \sqrt{n})$$

Это снова разность квадратов:

$$(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} — \sqrt{n}) = (\sqrt{m})^2 — (\sqrt{n})^2 = m — n$$

Ответ:

$$m-n$$