ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sqrt{25a^3}$

б) $\sqrt[4]{405a^5}$

в) $\sqrt[3]{24x^3}$

г) $\sqrt[5]{160m^{10}}$

Вынести множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

а) $\sqrt{25a^3} = \sqrt{25 \cdot a^2 \cdot a} = 5a\sqrt{a}$;
Ответ: $5a\sqrt{a}$.

б) $\sqrt[4]{405a^5} = \sqrt[4]{81 \cdot a^4 \cdot 5a} = 3a\sqrt[4]{5a}$;
Ответ: $3a\sqrt[4]{5a}$.

в) $\sqrt[3]{24x^3} = \sqrt[3]{8 \cdot x^3 \cdot 3} = 2x\sqrt[3]{3}$;
Ответ: $2x\sqrt[3]{3}$.

г) $\sqrt[5]{160m^{10}} = \sqrt[5]{32 \cdot m^{5 \cdot 2} \cdot 5} = 2m^2 \cdot \sqrt[5]{5}$;
Ответ: $2m^2 \cdot \sqrt[5]{5}$.

Задача а) $\sqrt{25a^3}$

Шаг 1: Разложение подкоренного выражения

Исходное выражение:

$$\sqrt{25a^3}$$

Разложим подкоренное выражение:

$$25a^3 = 25 \cdot a^2 \cdot a$$

Мы разложили $a^3$ на $a^2 \cdot a$, так как $a^3 = a^2 \cdot a$.

Шаг 2: Применяем свойство корня

Используем свойство корня, которое позволяет разделить корень на два (или больше) отдельных корня, если подкоренное выражение представлено как произведение чисел:

$$\sqrt{25a^3} = \sqrt{25 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a}$$

Шаг 3: Извлекаем корни

Теперь извлекаем корни:

$$\sqrt{25} = 5 \quad \text{(так как \( 5^2 = 25 \))},$$ $$\sqrt{a^2} = a \quad \text{(так как \( a^2 \) под корнем даёт \( a \))},$$ $$\sqrt{a} \quad \text{остается как есть.}$$

Шаг 4: Окончательный вид

Таким образом, получаем:

$$\sqrt{25a^3} = 5a\sqrt{a}$$

Ответ для а): $5a\sqrt{a}$.

Задача б) $\sqrt[4]{405a^5}$

Шаг 1: Разложение подкоренного выражения

Исходное выражение:

$$\sqrt[4]{405a^5}$$

Разложим подкоренное выражение:

$$405a^5 = 81 \cdot a^4 \cdot 5a$$

Мы разложили $405$ на $81 \cdot 5$, а $a^5$ на $a^4 \cdot a$, так как $a^5 = a^4 \cdot a$.

Шаг 2: Применяем свойство корня

Используем свойство корня:

$$\sqrt[4]{405a^5} = \sqrt[4]{81 \cdot a^4 \cdot 5a} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{5a}$$

Шаг 3: Извлекаем корни

Теперь извлекаем корни:

$$\sqrt[4]{81} = 3 \quad \text{(так как \( 3^4 = 81 \))},$$ $$\sqrt[4]{a^4} = a \quad \text{(так как \( a^4 \) под корнем даёт \( a \))},$$ $$\sqrt[4]{5a} \quad \text{остается как есть.}$$

Шаг 4: Окончательный вид

Таким образом, получаем:

$$\sqrt[4]{405a^5} = 3a \cdot \sqrt[4]{5a}$$

Ответ для б): $3a\sqrt[4]{5a}$.

Задача в) $\sqrt[3]{24x^3}$

Шаг 1: Разложение подкоренного выражения

Исходное выражение:

$$\sqrt[3]{24x^3}$$

Разложим подкоренное выражение:

$$24x^3 = 8 \cdot x^3 \cdot 3$$

Мы разложили $24$ на $8 \cdot 3$, а $x^3$ оставили как есть, так как это уже подходит для извлечения кубического корня.

Шаг 2: Применяем свойство корня

Используем свойство корня:

$$\sqrt[3]{24x^3} = \sqrt[3]{8 \cdot x^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{3}$$

Шаг 3: Извлекаем корни

Теперь извлекаем корни:

$$\sqrt[3]{8} = 2 \quad \text{(так как \( 2^3 = 8 \))},$$ $$\sqrt[3]{x^3} = x \quad \text{(так как \( x^3 \) под корнем даёт \( x \))},$$ $$\sqrt[3]{3} \quad \text{остается как есть.}$$

Шаг 4: Окончательный вид

Таким образом, получаем:

$$\sqrt[3]{24x^3} = 2x \cdot \sqrt[3]{3}$$

Ответ для в): $2x\sqrt[3]{3}$.

Задача г) $\sqrt[5]{160m^{10}}$

Шаг 1: Разложение подкоренного выражения

Исходное выражение:

$$\sqrt[5]{160m^{10}}$$

Разложим подкоренное выражение:

$$160m^{10} = 32 \cdot m^{5 \cdot 2} \cdot 5$$

Мы разложили $160$ на $32 \cdot 5$, а $m^{10}$ на $m^{5 \cdot 2}$, так как $m^{10} = m^{5 \cdot 2}$.

Шаг 2: Применяем свойство корня

Используем свойство корня:

$$\sqrt[5]{160m^{10}} = \sqrt[5]{32 \cdot m^{5 \cdot 2} \cdot 5} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{m^{5 \cdot 2}} \cdot \sqrt[5]{5}$$

Шаг 3: Извлекаем корни

Теперь извлекаем корни:

$$\sqrt[5]{32} = 2 \quad \text{(так как \( 2^5 = 32 \))},$$ $$\sqrt[5]{m^{5 \cdot 2}} = m^2 \quad \text{(так как \( m^{5 \cdot 2} \) под пятым корнем даёт \( m^2 \))},$$ $$\sqrt[5]{5} \quad \text{остается как есть.}$$

Шаг 4: Окончательный вид

Таким образом, получаем:

$$\sqrt[5]{160m^{10}} = 2m^2 \cdot \sqrt[5]{5}$$

Ответ для г): $2m^2 \cdot \sqrt[5]{5}$.

Итоговые ответы:

а) $x\sqrt{x}$

б) $3a\sqrt[4]{5a}$

в) $2x\sqrt[3]{3}$

г) $2m^2 \cdot \sqrt[5]{5}$